Question

選修4-4：
坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系x0y中，曲線C₁為x=acosφ，y=sinφ（1＜a＜6，φ為參數(shù)）．
在以0為原點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線C₂的方程為ρ=6cosθ，射線ι為θ=α，ι與C₁的交點(diǎn)為A，ι與C₂除極點(diǎn)外的一個(gè)交點(diǎn)為B．當(dāng)α=0時(shí)，|AB|=4．
（1）求C₁，C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）若過點(diǎn)P（1，0）且斜率為

3

的直線m與曲線C₁交于D、E兩點(diǎn)，求|PD|與|PE|差的絕對值．

Answer 1

分析：（1）把曲線C₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程 x²+y²-6x=0，求得C₁的直角坐標(biāo)方程．根據(jù)當(dāng)α=0時(shí)，
|AB|=4，求得a的值，即可得到C₂的直角坐標(biāo)方程．
（2）先求得m的參數(shù)方程，把它代入C₁的直角坐標(biāo)方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求得 t₁+t₂ 和 t₁•t₂ 的值，
再根據(jù)參數(shù)的意義可得|PD|-|PE|=|t₁+t₂|的值．

解答：解：（1）由曲線C₂的方程：ρ=6cosθ得 ρ²=6ρcosθ，所以C₂的直角坐標(biāo)方程是 x²+y²-6x=0．--（2分）
由已知得C₁的直角坐標(biāo)方程是

x2

a

+y²=1，
當(dāng)a=0時(shí)射線l與曲線C₁、C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為A（a，0）、B （6，0），-----（3分）
∵|AB|=4，∴a=2，∴C₁的直角坐標(biāo)方程是

x2

4

+y²=1．①----（5分）
（2）m的參數(shù)方程為

x=1+ 1 2 t y= 3 2 t

 （t為參數(shù)），②-------（7分）
將②帶入①得13t²+4t-12=0，設(shè)D、E 點(diǎn)的參數(shù)分別是t₁、t₂，
則有 t₁+t₂=-

4

13

，t₁•t₂=-

12

13

．-------（8分）
∴|PD|-|PE|=|t₁+t₂|=

4

13

．------（10分）

點(diǎn)評：本題主要考查把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線的參數(shù)方程以及參數(shù)的幾何意義，一元二次方程根與系數(shù)
的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．