Question

設(shè)P為雙曲線x²-

y2

3

=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF₁|：|PF₂|=5：3，則△PF₁F₂的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題設(shè)條件，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，能求出|PF₁|，|PF₂|，|F₁F₂|的長(zhǎng)，由此能求出△PF₁F₂的面積．

解答： 解：∵P為雙曲線x²-

y2

3

=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，
|PF₁|：|PF₂|=5：3，
∴設(shè)|PF₁|=5k，|PF₂|=3k，k＞0，
則由雙曲線的定義，知：5k-3k=2，解得k=1，
∴|PF₁|=5，|PF₂|=3，
∵|F₁F₂|=2

1+3

=4，
∴|PF₂|⊥|F₁F₂|，
∴S△PF1F2=

1

2

×|PF2|×|F1F2|=

1

2

×3×4=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．