Question

12．夏威夷木瓜是木瓜類的名優(yōu)品種，肉紅微味甜深受市民喜愛．某果農(nóng)選取一片山地種植夏威夷木瓜，收獲時(shí)，該果農(nóng)隨機(jī)選取果樹20株作為樣本測(cè)量它們每一株的果實(shí)產(chǎn)量（單位：kg），獲得的所有數(shù)據(jù)按照區(qū)間（40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖如圖．已知樣本中產(chǎn)量在區(qū)間（45，50]上的果樹株數(shù)是產(chǎn)量在區(qū)間（50，60]上的果樹株數(shù)的$\frac{4}{3}$倍．
（1）求a，b的值；
（2）若從產(chǎn)量在區(qū)間（50，60]上的果樹隨機(jī)抽取2株果樹，求它們的產(chǎn)量分別落在（50，55]和（55，60]兩個(gè)不同區(qū)間的概率的概率．

Answer 1

分析 （1）樣本中產(chǎn)量在區(qū)間（45，50]上的果樹有a×5×20=100a株，樣本中產(chǎn)量在區(qū)間（50，60]上的果樹有：b+0.02）×5×20=100（b+0.02株，由此能求出a，b．
（2）產(chǎn)量在區(qū)間（50，55]的有4株棵樹，產(chǎn)量在（55，60]的有2株果樹，從中任取2株，基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{2}=15$，它們的產(chǎn)量分別落在（50，55]和（55，60]兩個(gè)不同區(qū)間包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}$=8，由此能求出它們的產(chǎn)量分別落在（50，55]和（55，60]兩個(gè)不同區(qū)間的概率．

解答 解：（1）樣本中產(chǎn)量在區(qū)間（45，50]上的果樹有a×5×20=100a（株），
樣本中產(chǎn)量在區(qū)間（50，60]上的果樹有：（b+0.02）×5×20=100（b+0.02）（株），
依題意，有100a=$\frac{4}{3}$×100（b+0.02），即a=$\frac{4}{3}$（b+0.02），①
根據(jù)頻率分布直方圖知（0.02+b+0.06+a）×5=1，②
由①②，得：a=0.08，b=0.04．
（2）由（1）知產(chǎn)量在區(qū)間（50，55]的有4株棵樹，產(chǎn)量在（55，60]的有2株果樹，
從中任取2株，基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{2}=15$，
它們的產(chǎn)量分別落在（50，55]和（55，60]兩個(gè)不同區(qū)間包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}$=8，
∴它們的產(chǎn)量分別落在（50，55]和（55，60]兩個(gè)不同區(qū)間的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{8}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．