Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求證：直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）設(shè)直線l與雙曲線C的公共點(diǎn)為M，且

AM

=λ

AB

，證明：λ+e²=1；
（3）設(shè)P是點(diǎn)F₁關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)△PF₁F₂為等腰三角形時(shí)，求e的值．

Answer 1

分析：（1）首先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，并利用韋達(dá)定理得出只有一個(gè)公共點(diǎn)及坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)以及

AM

=λ

AB

，得出-

b2

a

=λa，λ=-

b2

a2

=-

c2-a2

a2

=1-e2，即可得出結(jié)論；
（3）分三種情況討論）（�。┮�?yàn)橹本�AB為F₁P的中垂線，而F₂不在直線AB上（點(diǎn)A與F₂不重合）不符合題意；（ⅱ）當(dāng)|F₂F₁|=|F₁P|時(shí)，得出

|e(-c)+0+a|

1+e2

=c，整理得e=

3

3

＜1，不符合題意；（ⅲ）當(dāng)|PF₂|=|PF₁|時(shí)，設(shè)出p點(diǎn)坐標(biāo)得出，kPF1=

yp

0-(-c)

=-

1

kAB

=-

a

c

，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)和PF₁的中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程即可求出e．

解答：解：（1）證明：因?yàn)锳、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)，
所以點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(-

a2

c

 ， 0)，B（0，a），
解

y=ex+a x2 a2 - y2 b2 =1

整理得 x²+2cx+c²=0，解得

x=-c y=- b2 a

即M(-c，-

b2

a

)，
所以直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)、…（3分）
（2）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

AM

=λ

AB

，所以(-c+

a2

c

，-

b2

a

)=λ(

a2

c

，a)．
所以-

b2

a

=λa，λ=-

b2

a2

=-

c2-a2

a2

=1-e2，即λ+e²=1…（6分）
（3）（ⅰ）因?yàn)橹本�AB為F₁P的中垂線，而F₂不在直線AB上（點(diǎn)A與F₂不重合），
所以|F₂F₁|≠|(zhì)F₂P|；…（7分）
（ⅱ）若|F₂F₁|=|F₁P|，則

1

2

|F1P|=

1

2

|F1F2|，
所以

|e(-c)+0+a|

1+e2

=c，整理得3c²=a²，所以e=

3

3

＜1，不符合題意．…（9分）
（ⅲ）若|PF₂|=|PF₁|，則點(diǎn)P在y軸上，設(shè)P（0，y_p），則kPF1=

yp

0-(-c)

=-

1

kAB

=-

a

c

，
所以y_P=-a，即P（0，-a），
設(shè)N是PF₁的中點(diǎn)，則N(-

c

2

，-

a

2

)，代入直線l的方程，得-

a

2

=e(-

c

2

)+a，
整理得c²=3a²，e²=3，所以e=

3

．…（12分）
綜上，當(dāng)△PF₁F₂為等腰三角形時(shí)，e=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．