Question

10．已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₂=2，S₆=21
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令${b_n}=\frac{1}{{（n+1）{a_n}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₂=2，S₆=21，可得a₁+d=2，6a₁+$\frac{6×5}{2}$d=21，
聯(lián)立解得a₁，d即可得出．
（2）${b_n}=\frac{1}{{（n+1）{a_n}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用裂項(xiàng)求和方法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₂=2，S₆=21，∴a₁+d=2，6a₁+$\frac{6×5}{2}$d=21，
聯(lián)立解得a₁=d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）${b_n}=\frac{1}{{（n+1）{a_n}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．