Question

已知函數(shù)的周期為，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象。

（Ⅰ）求函數(shù)與的解析式

（Ⅱ）是否存在，使得按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)確定的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由；

（Ⅲ）求實(shí)數(shù)與正整數(shù)，使得在內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）存在（Ⅲ）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)

【解析】（Ⅰ）由函數(shù)的周期為，，得

又曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為，

故，得，所以

將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）后可得的圖象，再將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

所以

問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解

設(shè)，

則

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081713230966509391/SYS201308171324070559352084_DA.files/image021.png">，所以，在內(nèi)單調(diào)遞增

又，

且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，

即存在唯一的滿足題意

（Ⅲ）依題意，，令

當(dāng)，即時(shí)，，從而不是方程的解，所以方程等價(jià)于關(guān)于的方程，

現(xiàn)研究時(shí)方程解的情況

令，

則問題轉(zhuǎn)化為研究直線與曲線在的交點(diǎn)情況

，令，得或

當(dāng)變化時(shí)，和變化情況如下表

當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于

當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于

當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于

當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于

故當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有無交點(diǎn)，在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)無交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)

由函數(shù)的周期性，可知當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，從而不存在正整數(shù)，使得直線與曲線在內(nèi)恰有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，由周期性，，所以

綜上，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)

三角函數(shù)解析式的確定相對(duì)而言應(yīng)該比較容易，也就是說即使是20題的第一問往往難度也不會(huì)太大，而我們同學(xué)可能因?yàn)闀r(shí)間的關(guān)系而丟掉了撿分的機(jī)會(huì)，所以建議大家可以先試看看此問是否熟悉，再做整體規(guī)劃。三角函數(shù)的圖像變換要千萬(wàn)注意左右平移只對(duì)x而言。而第二問對(duì)于是否等比的轉(zhuǎn)化是處理的關(guān)鍵，所以函數(shù)思想無處不在，要善于運(yùn)用。第三問從特殊到一般的思想是此問的靈魂，而此法的選擇也因?yàn)閰��?shù)分離后三角函數(shù)的周期性，所以萬(wàn)物皆有聯(lián)系，只是平時(shí)要練就一雙慧眼就不簡(jiǎn)單了。

【考點(diǎn)定位】 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、恒等變換、圖像以及函數(shù)的零點(diǎn)。將函數(shù)的所有性質(zhì)依托于三角函數(shù)展示，并且對(duì)多方面能力的綜合考查。屬于難題，但第一問是送給學(xué)生的。