Question

已知雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，過(guò)左焦點(diǎn)F₁作斜率為

3

3

的直線交雙曲線的右支于點(diǎn)P，且y軸平分線段F₁P，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A、

  2

• B、

  5

  +1
• C、

  3

• D、2+

  3

Answer 1

分析：首先寫出直線l的方程y=

3

3

（x-c），然后求出線段F₁P的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到p點(diǎn)坐標(biāo)并代入雙曲線方程，結(jié)合c²=a²+b²求出c²=3a²，即可得到結(jié)果．

解答：解：過(guò)焦點(diǎn)F₁（-c，0）的直線L的方程為：y=

3

3

（x-c），
直線L交雙曲線右支于點(diǎn)P，且y軸平分線F1P，
則交y軸于點(diǎn)Q（0，

3

3

c）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
∴x+c=2c，y=

2 3 c

3

P點(diǎn)坐標(biāo)（c，

2 3 c

3

），
代入雙曲線方程得：

1

a2

-

4

3b2

=

1

c2

，
又∵c²=a²+b²，
∴c²=3a²，
∴e=

3

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的性質(zhì)以及與直線的關(guān)系，關(guān)鍵是用含有c的式子表示出p的坐標(biāo)，屬于中檔題．