Question

12．設函數(shù)f（x）=（$\frac{sinB}{cosA}$）^x+（$\frac{sinA}{cosB}$）^x，其中A、B為△ABC的內(nèi)角，如果對任意x＞0都有f（x）＜2，那么（　　）

• A． 0＜A+B＜$\frac{π}{4}$
• B． 0＜A+B＜$\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{2}$＜A+B＜$\frac{3π}{4}$
• D． A+B＞$\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得0＜$\frac{sinB}{cosA}$＜1，0＜$\frac{sinA}{cosB}$＜1，則sinB＜cosA，sinA＜cosB，進一步得到A+B$＜\frac{π}{2}$得答案．

解答 解：由題意可得0＜$\frac{sinB}{cosA}$＜1，0＜$\frac{sinA}{cosB}$＜1，
∴sinB＜cosA，sinA＜cosB，
∴sinB＜sin（$\frac{π}{2}-A$），sinA＜sin（$\frac{π}{2}-B$）．
又0$＜A＜\frac{π}{2}$，0$＜B＜\frac{π}{2}$，
∴B$＜\frac{π}{2}-A$，A$＜\frac{π}{2}-B$，
則0＜A+B＜$\frac{π}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．