Question

 （本小題滿分１３分）

已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線在軸上的焦點(diǎn)恰好是橢圓的焦點(diǎn)

（Ⅰ）若拋物線和橢圓都經(jīng)過點(diǎn),求拋物線和橢圓的方程；

（Ⅱ）已知動直線過點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，直線：被以為直徑的圓截得的弦長為定值，求拋物線的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，分別過的拋物線的兩條切線的交點(diǎn)的軌跡為,直線與軌跡交于點(diǎn),求的最小值。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）設(shè)拋物線的方程為：，拋物線經(jīng)過點(diǎn)則

拋物線的方程為：其焦點(diǎn)為_￥￥

故可設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為和，

橢圓的方程為：               （3分)

（2）設(shè)則的中點(diǎn)，以為直徑的圓的半徑為

 ，設(shè)到直線：的距離為

 則

設(shè)直線：被以為直徑的圓截得的弦為,則： 

=

由于為定值，所以所以

拋物線的方程為：                      （8分)

（3）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)法或判別式法可求得的方程分別為

，若則

，故

又因?yàn)?sub>過點(diǎn)，所以所以

即的軌跡為的方程為，交于點(diǎn)

； 

當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號；

所以的最小值為。                         （13分）