Question

一個(gè)酒杯的軸截面是拋物線 x²=2y （ 0≤y＜15 ） 的一部分，若在杯內(nèi)放入一個(gè)半徑為3的玻璃球，則球的最高點(diǎn)與杯底的距離是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)圓心為A（0，a），圓與拋物線的一個(gè)切點(diǎn)為B（ x₀，

x02

2

），由AB和切線垂直得  

x02 2 -b

x0-0

•x₀=-1，
解出a 值，a+3為所求．

解答：解：玻璃球的軸截面是一個(gè)圓，設(shè)圓心為A（0，a），圓與拋物線的一個(gè)切點(diǎn)為B（ x₀，

x02

2

），切點(diǎn)處的切線
斜率就是函數(shù) y=

1

2

x2 在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) x₀，由AB和切線垂直得  

x02 2 -b

x0-0

•x₀=-1，
x₀²=2a-2．   又 AB=3，∴x₀²+(

x02

2

-a)2=9，∴a=5，
球的最高點(diǎn)與杯底的距離是半徑加上a，即 3+5=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，由AB和切線垂直得到它們的斜率之積等于-1是解題的關(guān)鍵．