Question

已知函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（x）＜0（x＞0），試判斷F（x）=f²（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知中函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（x）＜0，可得當0＜x₁＜x₂時，0＞f（x₁）＞f（x₂），進而根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得f²（x₁）＜f²（x₂），結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，可得F（x）=f²（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

解答： 證明：F（x）=f²（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，理由如下：
設(shè)0＜x₁＜x₂，
∵函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（x）＜0，
∴0＞f（x₁）＞f（x₂），
則f²（x₁）＜f²（x₂），
即F（x₁）＜F（x₂），
故F（x）=f²（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和證明，不等式的基本性質(zhì)，是函數(shù)單調(diào)性和不等式的簡單綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．