Question

19．如圖，己知三棱錐P-ABC，底面是邊長為2的正三角形，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB=$\sqrt{2}$，D為BC中點．
（Ⅰ）求證：AB⊥PC；
（Ⅱ）求點B到平面PAD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中點E，連接PE、CE，證明AB⊥平面PEC，即可證明：AB⊥PC；
（Ⅱ）利用V_B-PAD=V_P-ABD，求點B到平面PAD的距離．

解答 （I）證明：取AB中點E，連接PE、CE，
∵PB=PA，∴AB⊥PE，
∵AC=BC，∴AB⊥CE…（2分）
又∵PE∩CE=E，∴AB⊥平面PEC…（4分）
又∵PC?平面PEC，∴AB⊥PC…（6分）
（II）解：過E作EF⊥AD于F，連接PF，
∵平面PAB⊥平面ABC且PE⊥AB，
∴PE⊥平面ABC
∴PE⊥AD 
又EF⊥AD，PE∩EF=E
∴AD⊥平面PEF
∴PF⊥AD
∵D為正三角形ABC邊BC的中點，
∴AD⊥BC．
又EF⊥AD，∴EF∥BC，∴EF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{4}$BC=$\frac{1}{2}$
在△PAB中，AB=2，PB=PA=$\sqrt{2}$，∴PE=1
∴PF=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴S_△PAD=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{5}}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$…（9分）
設B到平面PAD的距離為h，V_B-PAD=$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}h$=$\frac{{\sqrt{15}}}{12}h$
三棱錐P-ABD的體積V_P-ABD=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$…（11分）
∵V_B-PAD=V_P-ABD，∴$\frac{{\sqrt{15}}}{12}h=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
∴h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$…（12分）

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查點到平面距離的計算，考查三棱錐體積的計算，正確求體積是關鍵．