Question

如圖，四邊形ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
（1）求SC與平面ASD所成的角余弦；
（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．

Answer 1

分析：（1）作CE∥AB交AD的延長線于E，由∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，可證得SA⊥面ABCD，進(jìn)而CE⊥面SAD，則∠CSE是SC與平面ASD所成的角，解Rt△CES即可得到答案．
（2）由SA⊥面ABCD，知面ABCD⊥面SAB，△SCD在面SAB的射影是△SAB，分別求出而△SAB的面積和△SCD的面積，代入cosφ=

S△SAB

S△SCD

，即可得到答案．

解答：解：（1）作CE∥AB交AD的延長線于E，
∵AB⊥AD，
∴CE⊥AD．
又∵SA⊥面ABCD，
∴CE⊥SA，SA∩AD=A，
∴CE⊥面SAD，SE是SC在面SAD內(nèi)的射影，
∴∠CSE=θ是SC與平面ASD所成的角，
易得SE=

2

，SC=

3

，
∴在Rt△CES中，cosθ=

CE

SC

=

6

3

（2）由SA⊥面ABCD，知面ABCD⊥面SAB，
∴△SCD在面SAB的射影是△SAB，
而△SAB的面積S₁=

1

2

×SA×AB=

1

2

，
設(shè)SC的中點(diǎn)是M，∵SD=CD=

5

2

，
∴DM⊥SC，DM=

2

2

∴△SCD的面積S₂=

1

2

×SC×DM

6

4

設(shè)平面SAB和平面SCD所成角為φ，
則由面積射影定理得cosφ=

S△SAB

S△SCD

=

6

3

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面所成的角，其中（1）的關(guān)鍵是證得∠CSE是SC與平面ASD所成的角，（2）的關(guān)鍵是證得，△SCD在面SAB的射影是△SAB，進(jìn)而cosφ=

S△SAB

S△SCD

．