【題目】如圖四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為2的菱形,G為AC與BD交點(diǎn),平面BED⊥平面ABCD,BE=2,AE=2
(Ⅰ)證明:BE⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若∠ABC=120°,求直線EG與平面EDC所成角的正弦值.

【答案】解:(Ⅰ)證明:∵四邊形ABCD為菱形,∴AC⊥DB

又因?yàn)槠矫鍮ED⊥平面ABCD,平面BED∩平面ABCD=DB,AC平面ABCD.

∴AC⊥平面BED,即AC⊥BE.

又BE=2,AE=2 ,AB=2,∴AE2=AB2+BE2,

∴BE⊥AB,且AB∩BD=B,∴BE⊥平面ABCD.

(Ⅱ)取AD中點(diǎn)H,連接BH.

∵四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為2的菱形,∠ABC=120°,∴BH⊥AD,且BH=

由(Ⅰ)得BE⊥平面ABCD,故以B為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)

則E(0,0,2),D(1, ,0),G( , ,0),C(2,0,0)

設(shè)面EDC的法向量為

,

,可取

cos = =﹣

直線EG與平面EDC所成角的正弦值為


【解析】(Ⅰ)由AC⊥DB,平面BED⊥平面ABCD,得AC⊥平面BED,即AC⊥BE.

又 AE2=AB2+BE2,得BE⊥AB,即可得BE⊥平面ABCD.(Ⅱ)由(Ⅰ)得BE⊥平面ABCD,故以B為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,

則E(0,0,2),D(1, ,0),G( , ,0),C(2,0,0),利用向量法求解.

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知橢圓C的方程為 + =1(a>b>0),雙曲線 =1的一條漸近線與x軸所成的夾角為30°,且雙曲線的焦距為4

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F1 , F2分別為橢圓C的左,右焦點(diǎn),過(guò)F2作直線l(與x軸不重合)交于橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為E,記直線F1E的斜率為k,求k的取值范圍.

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【題目】在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(﹣1,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為( ) 附:若X~N(μ,σ2),則P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544.

A.1 193
B.1 359
C.2 718
D.3 413

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【題目】“菊花”型煙花是最壯觀的煙花之一,制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.通過(guò)研究,發(fā)現(xiàn)該型煙花爆裂時(shí)距地面的高度(單位:米)與時(shí)間(單位:秒)存在函數(shù)關(guān)系,并得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表:

時(shí)間

1

高度

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述該型煙花爆裂時(shí)距地面的高度與時(shí)間的變化關(guān)系: , ,確定此函數(shù)解析式并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由;

(2)利用你選取的函數(shù),判斷煙花爆裂的最佳時(shí)刻,并求此時(shí)煙花距地面的高度.

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【題目】如圖,已知橢圓C1 +y2=1,雙曲線C2 =1(a>0,b>0),若以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓與C2的一條漸近線交于A,B兩點(diǎn),且C1與該漸近線的兩交點(diǎn)將線段AB三等分,則C2的離心率為( )

A.9
B.5
C.
D.3

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【題目】.如圖,在三棱錐V-ABC,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VBAD=BD,則下列結(jié)論中不一定成立的是 (  )

A. AC=BC

B. VC⊥VD

C. AB⊥VC

D. SVCD·AB=SABC·VO

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(1)求的值;(直接寫(xiě)出結(jié)果,不必寫(xiě)過(guò)程)

(2)若分別從甲、乙兩隊(duì)隨機(jī)各抽取1名成績(jī)不低于80分的學(xué)生,求抽到的學(xué)生中,甲隊(duì)學(xué)生成績(jī)不低于乙隊(duì)學(xué)生成績(jī)的概率.

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A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin

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【題目】在平面內(nèi),一條拋物線把平面分成兩部分,兩條拋物線最多把平面分成七個(gè)部分,設(shè) 條拋物線至多把平面分成 個(gè)部分,則 ( )
A.
B.
C.
D.

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