如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，，，在第三象限，線段的中點(diǎn)在直線上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值．

（1）求橢圓方程一般用待定系數(shù)法.本題已知橢圓過(guò)兩點(diǎn)，列兩個(gè)方程，解出的值,（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)，需列出兩個(gè)方程.一是點(diǎn)C在橢圓上，即，二是的中點(diǎn)在直線上，即.注意到在第三象限，舍去正值.（3）題意明確，思路簡(jiǎn)潔，就是求出點(diǎn)的坐標(biāo)，算出為定值.難點(diǎn)是如何消去參數(shù).因?yàn)辄c(diǎn)在直線： 上，所以可設(shè)，．選擇作為參數(shù)，即用表示點(diǎn)的坐標(biāo).由三點(diǎn)共線，解得，同理解得.從而有，這里主要用到代入化簡(jiǎn).本題也可利用橢圓參數(shù)方程或三角表示揭示為定值.

解析試題分析：（1）,（2）,（3）.
試題解析：（1）由已知，得  解得2分
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 3分
（2）設(shè)點(diǎn)，則中點(diǎn)為．
由已知，求得直線的方程為，從而．①
又∵點(diǎn)在橢圓上，∴．②
由①②，解得（舍），，從而． 5分
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為． 6分
（3）設(shè)，，．
∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得． 8分
∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得． 10分
∵點(diǎn)在橢圓上，∴，．
從而． 14分
所以 15分
∴為定值，定值為． 16分
考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓位置關(guān)系

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為、，且四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.
（1）求橢圓方程；
（2）若分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，連接，交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)直線的交點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知命題：，命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．
（1）命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若命題“”為真，命題“”為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)， 為原點(diǎn)，在、上分別存在異于點(diǎn)的點(diǎn)、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率e＝，一條準(zhǔn)線方程為x＝
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)G、H為橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OG⊥OH.
①當(dāng)直線OG的傾斜角為60°時(shí)，求△GOH的面積；
②是否存在以原點(diǎn)O為圓心的定圓，使得該定圓始終與直線GH相切？若存在，請(qǐng)求出該定圓方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為.不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分．

(1)求橢圓C的方程；
(2)求△ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓E：＋y2＝1(a＞1)的上頂點(diǎn)為M(0，1)，兩條過(guò)M的動(dòng)弦MA、MB滿足MA⊥MB.
(1)當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓E的準(zhǔn)線距離最短時(shí)，求橢圓E的方程；
(2)若Rt△MAB面積的最大值為，求a；
(3)對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a(a＞1)，動(dòng)直線AB是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？如果經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)(用a表示)；反之，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：(x＋1)2＋y2＝16，點(diǎn)F(1，0)，E是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF的垂直平分線PQ與CE交于點(diǎn)B，與EF交于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)B的軌跡方程；
(2)當(dāng)點(diǎn)D位于y軸的正半軸上時(shí)，求直線PQ的方程；
(3)若G是圓C上的另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足FG⊥FE，記線段EG的中點(diǎn)為M，試判斷線段OM的長(zhǎng)度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，且過(guò)點(diǎn)A(0，1)．
 
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點(diǎn)M、N，求證：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)P.

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