Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC₁D₁
（2）求直線EF與平面B₁FC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）根據線面平行的判斷定理即可證明EF∥平面ABC₁D₁
（2）根據直線和平面所成角的定義即可求直線EF與平面B₁FC所成角的正弦值．

解答： 解：（1）證明：（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
連接AD₁，BD₁，BC₁，則ABC₁D₁為平行四邊形，
∵E，F分別為DD₁、DB的中點，
∴EF∥BD₁，
∵BD₁?平面ABC₁D₁，EF?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁．
（2）連接AB₁，AF，
則CF⊥平面BB₁D₁D，
∴CF⊥BD₁，
∵BD⊥CB₁，
∴BD₁⊥平面AB₁C，
∵EF∥BD₁，
∴EF⊥平面AB₁C，
即直線EF與平面B₁FC所成的角為90°，
即直線EF與平面B₁FC所成角的正弦值為sin90°=1．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行的判斷以及直線和平面所成角的求解，要求熟練掌握相應的判斷定理．