Question

（2011•通州區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+x2+ax+b（a，b為常數(shù)）．
（I）若函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，求a的值；
（II）若f（x）在區(qū)間[-2，1]上是單調(diào)遞減的，求a的取值范圍；
（III）當(dāng)a＞1時(shí)，比較f(

1

2

logmt)與f(logm

t+1

2

)的大�。�

Answer 1

分析：（I）求出f′（x），由x=2取得極值得到f'（2）=0，求解得到a的值即可；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)可知f^′（x）≤0（x∈[-2，1]），通過(guò)分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求一個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題即可．
（III）當(dāng)a＞1時(shí)，f'（x）=x²+2x+a＞0恒成立，從而函數(shù)f(x)=

1

3

x3+x2+ax+b在R上是增函數(shù)，再利用基本不等式得出

t+1

2

≥t

1

2

，下面就m的取值分類討論，即可得出結(jié)果．

解答：解：（I）f'（x）=x²+2x+a．
因f（x）在x=2取得極值，所以f'（2）=4+4+a=0．解得a=-8．
經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)a=-9時(shí)，x=2為f（x）為極值點(diǎn)．
（II）∵f'（x）=x²+2x+a，
由已知得x²+2x+a≤0在[-2，1]上恒成立，
∴a≤-x²-2x在[-2，1]上恒成立．
∴a≤-1²-2×1=-3．
故a≤-3．
（III）當(dāng)a＞1時(shí)，f'（x）=x²+2x+a＞0恒成立，
∴函數(shù)f(x)=

1

3

x3+x2+ax+b在R上是增函數(shù)，
由于

t+1

2

≥t

1

2

，
①當(dāng)m＞1時(shí)，

1

2

logmt≤logm

t+1

2

，∴f(

1

2

logmt)≤f(logm

t+1

2

)；
②當(dāng)0＜m＜1時(shí)，

1

2

logmt≥logm

t+1

2

，
∴f(

1

2

logmt)≥f(logm

t+1

2

)．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值及單調(diào)性，不等關(guān)系與不等式．熟練掌握利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及使用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵．