已知數(shù)列{an}中,a2=1,前n項(xiàng)和為Sn,且
(1)求a1,a3;
(2)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并寫出其通項(xiàng)公式;
(3)設(shè),試問是否存在正整數(shù)p,q(其中1<p<q),使b1,bp,bq成等比數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的數(shù)組(p,q);若不存在,說明理由.
(1) a1=S1=="0," a3=2
(2) an=n-1
(3) 存在唯一正整數(shù)數(shù) 對(duì)(p,q)=(2,3),使b1,bp,bq成等比數(shù)列

試題分析:解:(1)令n=1,則a1=S1==0.      2分;         a3=2;   3分
(2)由,即,  ①     得 .  ②
②-①,得 .                    ③         5分
于是,.                           ④
③+④,得,即.             7分
又a1=0,a2=1,a2-a1=1,        
所以,數(shù)列{an}是以0為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.
所以,an=n-1.                                            9分
法二②-①,得 .                   ③     5分
于是,                 7分
       所以,an=n-1.                           9分
(3)假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組(p,q),使b1,bp,bq成等比數(shù)列,
則lgb1,lgbp,lgbq成等差數(shù)列,                               10分
于是,.                                         11分
所以,(☆).易知(p,q)=(2,3)為方程(☆)的一組解.     12分
當(dāng)p≥3,且p∈N*時(shí),<0,
故數(shù)列{}(p≥3)為遞減數(shù)列                                      14分
于是<0,所以此時(shí)方程(☆)無正整數(shù)解.              15分
綜上,存在唯一正整數(shù)數(shù) 對(duì)(p,q)=(2,3),使b1,bp,bq成等比數(shù)列.    16分
點(diǎn)評(píng):解決的關(guān)鍵是根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)以及定義來求解運(yùn)用。屬于基礎(chǔ)題。
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