如圖,正△ABC的邊長為4,CD是AB邊上的高,E,F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn),現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.

(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求棱錐E-DFC的體積;
(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P,使AP⊥DE?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.

(1)平面;(2);(3).

解析試題分析:本題主要考查線面垂直、線面平行、線線垂直、線線平行以及錐體體積問題,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.第一問,在中,利用中位線得到平行,通過線面平行的判斷定理即可得到平面;第二問,要求三棱錐的體積,找到底面積和高是關(guān)鍵,通過的翻折得出平面,通過,得出平面,所以為錐體的高,利用錐體體積公式計算出體積;第三問,在線段上取點(diǎn).使, 過,在中,利用邊長求出的正切,從而確定角的度數(shù),在等邊三角形中,是角平分線,所以,再利用線面垂直的判定證出平面,所以.
試題解析:(1)平面,理由如下:
如圖:在中,由分別是、中點(diǎn),得,
平面,平面.∴平面

(2)∵,,將沿翻折成直二面角
   ∴平面
的中點(diǎn),這時  ∴平面,,
 
(3)在線段上存在點(diǎn),使
證明如下:在線段上取點(diǎn).使, 過,
平面    ∴平面
,  ∴,
  在等邊中, ∴

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知在棱長為2的正方體中,的中點(diǎn).
(1)求證:
(2)求三棱錐的體積.

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如圖,邊長為4的正方形ABCD與矩形ABEF所在平面互相垂直,M,N分別為AE,BC的中點(diǎn),AF=3.

(I)求證:DA⊥平面ABEF;
(Ⅱ)求證:MN∥平面CDFE;
(Ⅲ)在線段FE上是否存在一點(diǎn)P,使得AP⊥MN? 若存在,求出FP的長;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖所示,已知四邊形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,PD∥EA,AD=PD=2EA=2,F(xiàn),G,H分別為BP,BE,PC的中點(diǎn)。

(Ⅰ)求證:平面FGH⊥平面AEB;
(Ⅱ)在線段PC上是否存在一點(diǎn)M,使PB⊥平面EFM?若存在,求出線段PM的長;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,側(cè)棱AA1⊥面ABC,D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AB上,且

(Ⅰ)求證:EF∥平面BDC1
(Ⅱ)求二面角E-BC1-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在四棱錐中,平面,是正三角形,的交點(diǎn)恰好是中點(diǎn),又,,點(diǎn)在線段上,且

(1)求證:;
(2)求證:平面
(3)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,五面體中,四邊形ABCD是矩形,DA面ABEF,且DA=1,AB//EF,,P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點(diǎn).

(1)求證:PQ//平面BCE;
(2)求證:AM平面ADF;
(3)求二面角A-DF-E的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在正方體中,已知是棱的中點(diǎn).

求證:(1)平面,
(2)直線∥平面;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖三棱錐中,,是等邊三角形.

(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)若二面角 的大小為,求與平面所成角的正弦值.

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