Question

【題目】已知橢圓M： + =1（a＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（﹣1，0），左右頂點(diǎn)分別為A，B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2 ， 求|S1﹣S2|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)镕（﹣1，0）為橢圓的焦點(diǎn)，所以c=1， 又b= ，所以a=2，
所以橢圓方程為 =1；
（Ⅱ）直線l無(wú)斜率時(shí)，直線方程為x=﹣1，
此時(shí)D（﹣1， ），C（﹣1，﹣ ），△ABD，△ABC面積相等，|S1﹣S2|=0，
當(dāng)直線l斜率存在（顯然k≠0）時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x+1）（k≠0），
設(shè)C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），
和橢圓方程聯(lián)立，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
顯然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
此時(shí)|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|
=2|k（x2+x1）+2k|= = ≤ = ，（k=± 時(shí)等號(hào)成立）
所以|S1﹣S2|的最大值為
【解析】（Ⅰ）由焦點(diǎn)F坐標(biāo)可求c值，根據(jù)a，b，c的平方關(guān)系可求得a值；（Ⅱ）當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)可得，|S1﹣S2|=0；當(dāng)直線l斜率存在（顯然k≠0）時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x+1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立消y可得x的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可用k表示x1+x2 ， x1x2 ， |S1﹣S2|可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1 ， x2的式子，進(jìn)而變?yōu)殛P(guān)于k的表達(dá)式，再用基本不等式即可求得其最大值．