Question

有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，中間兩個(gè)數(shù)的和為10，其它兩個(gè)數(shù)的和為11，求這四個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：由中間兩個(gè)數(shù)和為10，設(shè)第二個(gè)數(shù)為b，得到第三個(gè)數(shù)為10-b，由其它兩個(gè)數(shù)和為11，設(shè)第一個(gè)數(shù)為a，得到第四個(gè)數(shù)為11-a，然后由前三個(gè)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)于a與b的兩個(gè)方程，聯(lián)立兩方程得到方程組，求出方程組的解集得到a與b的值，即可確定出這四個(gè)數(shù)．

解答：解：設(shè)四個(gè)數(shù)分別為a、b、10-b、11-a，
∵前三個(gè)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，
則2b=a+（10-b），（10-b）²=b（11-a），
即

a=3b-10① b2-31b+ab+100=0②

，
把①代入②得：b²-31b+b（3b-10）+100=0，
即4b²-41b+100=0，
分解因式得：（b-4）（4b-25）=0，
解得：b=4或b=

25

4

，
∴a=2或a=

35

4

，
∴

a=2 b=4

或

a= 35 4 b= 25 4

，
∴這四個(gè)數(shù)為2、4、6、9或

35

4

、

25

4

、

15

4

、

9

4

．

點(diǎn)評：此題考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，利用了方程的思想，熟練掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．