Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BD=

2

，∠ABD=90°，將它們沿對角線BD折起，折后的點C變?yōu)镃₁，且AC₁=2．
（1）求證：平面ABD⊥平面BC₁D；
（2）E為線段AC₁上的一個動點，當線段EC₁的長為多少時，DE與平面BC₁D所成的角為30°？

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理及其逆定理、線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理即可證明；
（2）通過建立空間直角坐標系，利用斜線的方向向量與平面的法向量所成的角即可得到線面角．

解答：（1）證明：∵AB=1，BD=

2

，∠ABD=90°，∴AD=

12+( 2 )2

=

3

=BC，
∵AC₁=2，∴AC12=AB2+BC12，∴∠ABC1=90°，∴AB⊥BC₁．
又AB⊥BD，BC₁∩BD=B，∴AB⊥平面BC₁D，
∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BC₁D．
（2）在平面BC₁D過點B作直線l⊥BD，分別以直線l，BD，BA為x，y，z建立空間直角坐標系B-xyz，
則A（0，0，1），C₁（1，

2

，0），D（0，

2

，0），
∴

AC1

=(1，

2

，-1)，

BA

=(0，0，1)，
設

AE

=λ

AC1

=(λ，

2

λ，-λ)，則E(λ，

2

λ，1-λ)，λ∈[0，1]，∴

DE

=(λ，

2

λ-

2

，1-λ)．
又

BA

=(0，0，1)是平面BC₁D的一個法向量，
依題意得sin30o=|cos＜

BA

，

DE

＞|，即|

1-λ

λ2+3(λ-1)2

|=

1

2

，
解得λ=

1

2

，即|C₁E|=1時，DE與平面BC₁D所成的角為30°．

點評：熟練掌握勾股定理及其逆定理、線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、通過建立空間直角坐標系并利用斜線的方向向量與平面的法向量所成的角求得到線面角是解題的關鍵．