Question

【題目】已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當時，.

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（2）若函數(shù)有兩個零點：求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為,，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）或

【解析】

根據(jù)題意求出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間,再利用偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反求出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間即可;

由函數(shù)為定義在上的偶函數(shù),只需方程在上有一個根即可,分三種情況,,分別求出時,函數(shù)的解析式,利用函數(shù)的單調(diào)性求出其值域,進而求出實數(shù)的取值范圍即可.

（1）由題意可得,當,時，，

令，即,解得，

當時,,所以，

因為函數(shù) 在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減;

當時,,所以，

因為函數(shù) 在上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;

因為函數(shù)為定義在上的偶函數(shù),

由偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反可得,

函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

故函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為,，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由題可得,函數(shù)有兩個零點，

即方程有兩個不同根，

因為為定義在上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于軸對稱,

故方程在上有一個根即可.

當時，則,因為，

所以當時,，

所以在上有一個根，

由于在上單調(diào)遞減,,

所以,即,

故實數(shù)的取值范圍為；

當時，令，解得，

因為函數(shù)為上的減函數(shù),

所以當時,,

所以函數(shù)為上的減函數(shù),

所以,

當時，,

所以函數(shù)為上的增函數(shù)，

所以,

要使方程在上有一個根,

只需或，解得或,

故實數(shù)的取值范圍為或;

當,時,因為,所以，

所以函數(shù),

因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,

因為,所以,

即，

故只需，即,

故實數(shù)的取值范圍為.

綜上可得，實數(shù)的取值范圍為或.