定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2的奇函數(shù), 且當(dāng)x∈(0, 1)時(shí), f (x)=.

(1)求f (x)在[-1, 1]上的解析式;  

(2)證明f (x)在(—1, 0)上時(shí)減函數(shù);

(3)當(dāng)λ取何值時(shí), 不等式f (x)>λ在R上有解?

 

【答案】

(1) f(x)=. (2)用定義或?qū)?shù)法均可證明;(3)λ< 

【解析】

試題分析:(1)當(dāng)x∈(-1, 0)時(shí), - x∈(0, 1).∴由題意可得f(-x)=.

又f(x)是奇函數(shù),∴f(x)=" -" f (-x) =-.    2分

∵f(-0)= -f(0),  ∴f(0)=" 0."    3分

又f(x)是最小正周期為2的函數(shù),∴對(duì)任意的x有f(x+2)= f(x).

∴f(-1)=" f(-1+2)=" f(1). 另一面f(-1)="-" f (1), ∴- f(1)=" f(1)" . ∴f(1) = f(-1)=0.  5分

∴f(x)在[-1, 1]上的解析式為 f(x)=.    6分

(2)f (x)在(—1, 0)上時(shí)的解析式為,∵,∴,又-1<x<0,∴,∴,∴,∴f (x)在(—1, 0)上時(shí)減函數(shù)   10分

(3)不等式f(x)>λ在R上有解的λ的取值范圍就是λ小于f(x)在R上的最大值.…12分

由(2)結(jié)論可得,當(dāng)x∈(-1, 0)時(shí),有-< f(x)= -< -;

又f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(0, 1)時(shí),有< f(x)=<;

∴f(x)在[-1, 1]上的值域是(-, -)∪{0}∪(, ).  14分

由f(x)的周期是2;故f(x)在R上的值域是(-, -)∪{0}∪(, )  15分

∴λ<時(shí),不等式f(x)>λ在R上有解.    16分

考點(diǎn):本題考查了函數(shù)的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng):利用奇偶性求函數(shù)解析式問(wèn)題要注意:(1)在哪個(gè)區(qū)間求解析式,就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間里;(2)轉(zhuǎn)化為已知的解析式進(jìn)行代入;(3)利用的奇偶性把寫(xiě)成,從而求出

 

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定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是π,且當(dāng)x∈[0,
π
2
]時(shí),f(x)=sinx,則f(
3
)的值為
 

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20、已知定義在R上的函數(shù)f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù),函數(shù)f(x)在x=-1處取極值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)討論f(x)在區(qū)間[-3,3]上的單調(diào)性.

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定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
,當(dāng)x∈(0,4)時(shí),f(x)=x2-1,則f(2010)=
 

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已知定義在R上的函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤
π
2
),最大值與最小值的差為4,相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)之間距離為π,函數(shù)y=sin(2x+
π
3
)圖象所有對(duì)稱(chēng)中心都在f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸上.
(1)求f(x)的表達(dá)式;    
(2)若f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
π
2
]),求cos(x0-
π
3
)的值.

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已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對(duì)應(yīng)值表:
x 0 1 2 3
f(x) 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函數(shù)f(x)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是(  )

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