Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為n，已知S₁=1，

Sn+1

Sn

=

n+c

n

（為常數(shù)，c≠1，n∈N^*），且a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列．
（1）求的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，記A_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，B_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+（-1）^n-1a_nb_n，n∈N^*．求證：A_2n+3B_2n≤-4，（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由數(shù)列遞推式結(jié)合S₁=1求得a₁，a₂，a₃，再結(jié)合a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列求得c的值；
（2）把c代入

Sn+1

Sn

=

n+c

n

，累積后求出S_n，由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得答案；
（3）求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法求出A_n，B_n，作和后放縮得答案．

解答： （1）解：∵S₁=1，

Sn+1

Sn

=

n+c

n

，
∴an+1=Sn+1-Sn=

c

n

Sn，
∴a1=S1=1，a2=cS1=c，a3=

c

2

S2=

c

2

(1+c)．
又∵a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，
∴2a₂=a₁+a₃，即2c=1+

c(1+c)

2

，
∴c²-3c+2=0．
解得c=2，或c=1（舍去）；
（2）解：∵S₁=1，

Sn+1

Sn

=

n+2

n

，
∴Sn=S1×

S2

S1

×…×

Sn

Sn-1

=1×

3

1

×

4

2

×…×

n+1

n-1

=

n(n+1)

2

(n≥2)，
∴an=Sn-Sn-1=

n(n+1)

2

-

n(n-1)

2

=n(n≥2)，
又a₁=1，∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是an=n(n∈N*)；
（3）證明：∵數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為c=2的等比數(shù)列，
∴bn=2n-1．
又an=n(n∈N*)，
∴A2n=1×20+2×21+…+2n×22n-1  ①
B2n=1×20-2×21+…-2n×22n-1    ②
將①乘以2得：2A2n=1×21+2×22+…+2n×22n    ③
①-③得：-A2n=20+21+…-22n-1-2n×22n=

1(1-22n)

1-2

-2n×22n，
整理得：A2n=4n(2n-1)+1．
將②乘以-2得：-2B2n=-1×21+2×22-…+2n×22n ④
②-④整理得：
3B2n=20-21+22-…-22n-1-2n×22n=

1(1-22n)

1-(-2)

-2n×22n=

1-4n

3

-2n×4n．
∴A2n+3B2n=

4

3

(1-4n)，
∴A2n+3B2n=

4

3

(1-4n)≤

4

3

(1-41)=-4．

點(diǎn)評：本題考查了累積法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯位相減法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．