【題目】如圖，是以為直徑的圓上一點，，等腰梯形所在的平面垂直于⊙所在的平面，且.

（1）求與所成的角；

（2）若異面直線和所成的角為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）30°（2）

【解析】

（1）根據(jù)可知，與所成角即為（或其補角），根據(jù)可得結果；

（2）取弧的中點，的中點，以為原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系：再利用二面角的兩個半平面的法向量可求得結果.

（1），

與所成角即為（或其補角），

又，

，

又，

.

與所成角為30°.

（2）取弧的中點，的中點，以為原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系：

設的長為，則，

所以，

所以，

，

設平面的一個法向量，

則

令，得

.

顯然平面的一個法向量，設二面角所成角的平面角為，

則，

∴二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，長軸長為4，且過點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過的直線l交橢圓C于兩點，過A作x軸的垂線交橢圓C與另一點Q（Q不與重合）.設的外心為G，求證為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年是我國垃圾分類逐步凸顯效果關鍵的一年.在國家高度重視，重拳出擊的前提下，高強度、高頻率的宣傳教育能有效縮短我國生活垃圾分類走入世界前列所需的時間，打好垃圾分類這場“持久戰(zhàn)”，“全民戰(zhàn)”.某市做了一項調查，在一所城市中學和一所縣城中學隨機各抽取15名學生，對垃圾分類知識進行問答，滿分為100分，他們所得成績如下：

城市中學學生成績分別為：73 71 83 86 92 70 88 93 73 97 87 88 74 86 85

縣城中學學生成績分別為：60 64 71 91 60 76 72 85 81 72 62 74 73 63 72

（1）根據(jù)上述兩組數(shù)據(jù)在圖中完成兩所中學學生成績的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩所中學學生成績的平均分及分散程度；（不要求計算出具體值，給出結論即可）

（2）記這30名學生成績80分以上為良好，80分以下為一般，完善表格，并判斷是否有99%的把握認為該城市中學和縣城中學的學生在了解垃圾分類知識上有差異？（結果保留三位小數(shù)）

學生成績

良好

一般

合計

城市中學學生

縣城中學學生

合計

附：.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為、，離心率為，點P是橢圓C上的一個動點，且面積的最大值為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）橢圓C與x軸交于A、B兩點，直線和與直線l：分別交于點M，N，試探究以為直徑的圓是否恒過定點，若是，求出所有定點的坐標：若否，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，經(jīng)過點且斜率為的直線與相交于兩點，與軸相交于點.

（1）若，且恰為線段的中點，求證：線段的垂直平分線經(jīng)過定點；

（2）若，設分別為 的左、右頂點，直線、相交于點.當點異于時，是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中.

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若對任意，任意，不等式恒成立時最大的記為，當時，的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】菱形中，平面，，，

（1）證明：直線平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）線段上是否存在點使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左頂點為，左、右焦點分別為，離心率為，是橢圓上的一個動點（不與左、右頂點重合），且的周長為6，點關于原點的對稱點為，直線交于點.

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于另一點，且，求點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，菱形與正方形所在平面相交于.

（1）求作平面與平面的交線，并說明理由；

（2）若與垂直且相等，求二面角的余弦值.

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