【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的左焦點為F1(﹣ ,0),e= . (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)如圖,設(shè)R(x0 , y0)是橢圓C上一動點,由原點O向圓(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=4引兩條切線,分別交橢圓于點P,Q,若直線OP,OQ的斜率存在,并記為k1 , k2 , 求證:k1k2為定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試問OP2+OQ2是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)由題意得, ,解得 ,b= = ∴橢圓方程為
(Ⅱ)由已知,直線OP:y=k1x,OQ:y=k2x,且與圓R相切,
∴ ,化簡得
同理 ,
∴k1 , k2是方程 的兩個不相等的實數(shù)根
∴ ,△>0,
∵點R(x0 , y0)在橢圓C上,所以 ,即
∴
(Ⅲ)OP2+OQ2是定值18.
設(shè)直線OP:y=k1x,OQ:y=k2x, ,
聯(lián)立 解得
∴
同理,得
由OP2+OQ2= + = ,
∴OP2+OQ2=
= =
=
綜上:OP2+OQ2=18
【解析】(Ⅰ)由題意得,c,a,推出b,即可得到橢圓的方程.(Ⅱ)由已知,直線OP:y=k1x,OQ:y=k2x,且與圓R相切,列出方程,說明k1 , k2是方程 的兩個不相等的實數(shù)根,推出 ,通過點R(x0 , y0)在橢圓C上,化簡求解即可.(Ⅲ)OP2+OQ2是定值18.設(shè)直線OP:y=k1x,OQ:y=k2x,聯(lián)立 解得 同理,得 ,然后計算OP2+OQ2= + 化簡求解即可.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣,在全校一年級學(xué)生中進行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:
喜歡甜品 | 不喜歡甜品 | 合計 | |
南方學(xué)生 | 60 | 20 | 80 |
北方學(xué)生 | 10 | 10 | 20 |
合計 | 70 | 30 | 100 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有95%的把握認為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”;
(2)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生,其中2名喜歡甜品.現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率.
附:.
P(χ2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=(ax2+ax+x+a)e﹣x(a≤0).
(1)討論y=f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=0時,若f(x1)=f(x2) (x1≠x2),求證x1+x2>2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點在橢圓: ()上,設(shè), , 分別為左頂點、上頂點、下頂點,且下頂點到直線的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點, ()為橢圓上兩點,且滿足,求證: 的面積為定值,并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以直角坐標系xOy中,直線l:y=x,圓C: (φ為參數(shù)),以坐標原點為為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (Ⅰ)求直線l與圓C的極坐標方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與圓C的交點為M,N,求△CMN的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若存在正整數(shù)T,對于任意正整數(shù)n都有an+T=an成立,則稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列,周期為T.已知數(shù)列{an}滿足a1=m(m>0),an+1= , 關(guān)于下列命題:
①當(dāng)m=時,a5=2
②若m= , 則數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列;
③對若a2=4,則m可以取3個不同的值;
④m∈Q且m∈[4,5],使得數(shù)列{an}是周期為6.
其中真命題的個數(shù)是( 。
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,點P(2,0).
(I)求橢圓C的短軸長與離心率;
( II)過(1,0)的直線與橢圓C相交于M、N兩點,設(shè)MN的中點為T,判斷|TP|與|TM|的大小,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)教職工春季競走比賽在校田徑場隆重舉行,為了解高三年級男、女兩組教師的比賽用時情況,體育組教師從兩組教師的比賽成績中,分別各抽取9名教師的成績(單位:分鐘),制作成下面的莖葉圖,但是女子組的數(shù)據(jù)中有一個數(shù)字模糊,無法確認,假設(shè)這個數(shù)字具有隨機性,并在圖中以a表示,規(guī)定:比賽用時不超過19分鐘時,成績?yōu)閮?yōu)秀.
(1)若男、女兩組比賽用時的平均值相同,求a的值;
(2)求女子組的平均用時高于男子組平均用時的概率;
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