Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{m{x^2}+mx+2}$的定義域是R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，8]．

Answer 1

分析 由題意知mx²+mx+2＞0在R上恒成立，因二次項(xiàng)的系數(shù)是參數(shù)，所以分m=0和m≠0兩種情況，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即開(kāi)口方向和判別式的符號(hào)，列出式子求解，最后把這兩種結(jié)果并在一起．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{m{x^2}+mx+2}$的定義域?yàn)镽，
∴mx²+mx+2≥0在R上恒成立，
①當(dāng)m=0時(shí)，有2＞0在R上恒成立，故符合條件；
②當(dāng)m≠0時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{{m}^{2}-8m≤0}\end{array}\right.$，解得0＜m≤8，
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，8]．
故答案為：[0，8]．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，考查了含有參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，由于含有參數(shù)需要進(jìn)行分類(lèi)討論，易漏二次項(xiàng)系數(shù)為零這種情況，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出等價(jià)條件求解．