Question

5．已知拋物線C：y²=-2px（p＞0）上橫坐標為-3的一點與其焦點的距離為4．
（1）求p的值；
（2）設(shè)動直線y=k（x+2）與拋物線C相交于A，B兩點，問：在x軸上是否存在與k的取值無關(guān)的定點M，使得∠AMB被x軸平分？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線性質(zhì)可知：丨-3-$\frac{p}{2}$丨=4，解得p值．
（2）分類討論k的取值，當k≠0時，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)存在點M（a，0）滿足條件，由已知得k_AM=-K_BM，整理得（y₁y₂+4a）（y₁+y₂）=0；把直線方程代入拋物線方程化簡，把根與系數(shù)的關(guān)系代入解得a的值．

解答 解：（1）由拋物線性質(zhì)可知：丨-3-$\frac{p}{2}$丨=4，
∵p＞0，
∴p=2，
（2）拋物線方程為：y²=-4x，
當k=0，直線只與拋物線有一個交點，顯然不成立，
當k不存在時，與x軸垂線，與拋物線有兩個交點，顯然成立；
當k≠0時，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)存在點M（a，0）滿足條件，由已知得k_AM=-K_BM，
即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}$=0，
整理得：（y₁y₂+4a）（y₁+y₂）=0，
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{y}^{2}=-4x}\end{array}\right.$，整理得y²+$\frac{4y}{k}$-8=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-8，
∴（4a-8）（-$\frac{4}{k}$）=0，
∴4a-8=0，解的a=2，
因此存在點M（2，0）滿足題意．

點評 本題主要考查直線的斜率公式，拋物線的定義、標準方程以及簡單性質(zhì)的應用，屬于中檔題．