Question

將水注入錐形容器中，其速度為4m³/min，設錐形容器的高為8m，頂口直徑為6m，求當水深為5m時，水面上升的速度．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用,導數(shù)的運算,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：由題，依據圖形得出V關于高度h的函數(shù)及高度h關于t的函數(shù)，利用導數(shù)研究其變化規(guī)律即可得出水面上升的速度．

解答： 解：設注入水tmin后，水深為hm，由相似三角形對應邊成比例可
得水面直徑為

3

4

hm，
這時水的體積為    V=

1

3

π(

3

8

h)2•h=

3π

64

h3…（4分）
由于水面高度h隨時間t而變化，因而h是t的函數(shù)h=h（t）
由此可得水的體積關于時間t的導數(shù)為V′t=V′h•h′t=(

3π

64

h3)′•h′t=

9π

64

h2•h′t
由假設，注水速度為4m³/min，4t=

3π

64

h3∴4=

9π

64

h2•ht′
所以當h=5時，h_t'=

256

225π

m/min，
當水深為5m時，水面上升的速度

256

225π

m/min．        …（10分）
法（2）設t時刻水面的高度為hm
則

1

3

π(

3

8

h)2h=4th(t)=

3	256t π

…（4分）h′(t)=

3	256 π

1

3t 2 3

…（6分）
由h(t)=

3	256t π

=5t=

375

256

π…（8分）∴h′(

375

256

π)=

256

225π

m/min…（10分）

點評：本題考查建立函數(shù)模型及利用導數(shù)研究實際問題中事物變化的規(guī)律，導數(shù)在實際問題中有著廣泛的運用