Question

直線l是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右準(zhǔn)線，以原點(diǎn)為圓心且過雙曲線的頂點(diǎn)的圓，被直線l分成弧長為2：1的兩段圓弧，則該雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓被分成的兩段圓弧的弧長比為2：1，可以求出兩個交點(diǎn)與圓心構(gòu)成的圓心角為120度，根據(jù)對稱性，在第一象限的交點(diǎn)A原點(diǎn)O所構(gòu)成直線的傾斜角為60度，記右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為B． 則可根據(jù)

|OB|

|OA|

cos60°求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率e．

解答：解：c²=a²+b²
由于圓被分成的兩段圓弧的弧長比為2：1，
所以可以求出兩個交點(diǎn)與圓心構(gòu)成的圓心角為120°，
根據(jù)對稱性，在第一象限的交點(diǎn)A原點(diǎn)O所構(gòu)成直線的傾斜角為60°
記右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為B．
所以

|OB|

|OA|

=

a2 c

a

=

a

c

=cos60°=

1

2

所以e=

c

a

=2．
故答案為2．

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的熟練程度．