Question

已知點(diǎn)M(-2，0)，N(2，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）求C的方程；
（2）若A、B是曲線C上不同的兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

解：（1）由題意知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線（a>0，b>0）的右半支，其中實(shí)半軸長(zhǎng)a=，焦半距c=2，
∴ b²=c²-a²=2，
于是C的方程為(x>0)．          ……………………4分
（2）設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則，．
若AB⊥x軸，此時(shí)x₁=x₂，y₁=-y₂，
∴ =x₁x₂+y₁y₂=．
∵ (x₁，y₁)在雙曲線C上，
∴ =2，
即 =2．                          ……………………6分
若AB不垂直于x軸，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，
由得(1-k²)x²-2kbx-b²-2=0．
∵ A、B是雙曲線右支上不同的兩點(diǎn)，
∴ 1-k²≠0，且Δ>0，x₁x₂=>0，x₁+x₂=>0，
即 可解得0<k²-1<(b≠0)．
……………………8分
∵ y₁y₂=(kx₁+b)(kx₂+b)=k²x₁x₂+kb(x₁+x₂)+b²=，
∴ =x₁x₂+y₁y₂=+==2+．
又∵ k²-1>0，從而>2．
綜上，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，取得最小值2． …………………10分

略