Question

（2011•重慶三模）一個邊長為2b的正△ABC內接于橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，頂點A的坐標為（0，b），且高在y軸上，則橢圓的離心率為

3

-1

．

Answer 1

分析：根據題中的條件可得：B（-b，b-

3

b），C（b，b-

3

b），再結合點B在橢圓上得到

b2

a2

=2

3

-3，進而利用a，b，c之間的關系得到答案．

解答：解：如圖所示：

因為邊長為2b的正三角形ABC的頂點A是（0，b），并且且高在y軸上，
所以B（-b，b-

3

b），C（b，b-

3

b），
因為點B在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，所以有

b2

a2

+

(1- 3 )2b2

b2

=1(a＞b＞0)，
解得：

b2

a2

=2

3

-3，
由b²+c²=a²可得：c2=(4-2

3

)a2，
所以e2=(

3

-1)2，所以e=

3

-1．
故答案為：

3

-1．

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質，考查學生的計算能力與分析問題解決問題的能力，此題屬于基礎題．