Question

已知A（1，

2

）是離心率為

2

2

的橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）上的一點，過A作兩條直線交橢圓于B、C兩點，若直線AB、AC的傾斜角互補．
（1）求橢圓E的方程；
（2）試證明直線BC的斜率為定值，并求出這個定值；
（3）△ABC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值？若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用A（1，

2

）是離心率為

2

2

的橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）上的一點，建立方程，求出幾何量，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，確定B，C的坐標(biāo)，即可求出直線BC的斜率為定值；
（3）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，確定三角形的面積，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：（1）解：∵橢圓的離心率為

2

2

，∴

a2-b2

a2

=

1

2

，∴a²=2b²
∴橢圓方程為

y2

2b2

+

x2

b2

=1
∵A（1，

2

）是橢圓上的點，
∴

2

2b2

+

1

b2

=1
∴b²=2
∴橢圓方程為

y2

4

+

x2

2

=1；
（2）證明：設(shè)直線AB的方程為y-

2

=k(x-1)，代入橢圓方程可得（k²+2）x²-2k(k-

2

)x+（k2-2

2

k-2）=0，∵x=1是方程的一個實根，
∴由韋達定理得，1+x_B=

2k(k- 2 )

k2+2

，故x_B=

k2-2 2 k-2

k2+2

，
∴yB=k(xB-1)+

2

=

- 2 k2-4k+2 2

k2+2

，
∴B（

k2-2 2 k-2

k2+2

，

- 2 k2-4k+2 2

k2+2

），
∵AB、AC的傾斜角互補，故其斜率互為相反數(shù)，用-k代替k可得
C（

k2+2 2 k-2

k2+2

，

- 2 k2+4k+2 2

k2+2

），∴kBC=

yB-yC

xB-xC

=

8k

4 2 k

=

2

（3）解：設(shè)BC的方程為y=

2

x+m，由

y2 4 + x2 2 =1 y= 2 x+m

可得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，于是|BC|=

3

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

3 2 (8-m2)

，
又A（1，

2

）到直線BC的距離為d=

|m|

3

，
∴S△ABC=

1

2

•

3 2 (8-m2)

•

|m|

3

=

2

4

•

m2(8-m2)

≤

2

4

×4=

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=4時等號成立，故△ABC的面積的最大值為

2

．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．