Question

（1）已知y=

1

x

的圖象為雙曲線(xiàn)，在雙曲線(xiàn)的兩支上分別取點(diǎn)P，Q，則線(xiàn)段PQ的最小值為

2

2

；
（2）已知y=

3

x-

1

x

的圖象為雙曲線(xiàn)，在此雙曲線(xiàn)的兩支上分別取點(diǎn)P，Q，則線(xiàn)段PQ的最小值為

2

3

-2

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的中心被雙曲線(xiàn)截得的實(shí)軸長(zhǎng)是線(xiàn)段是PQ的最小值．因此，求出雙曲線(xiàn)y=

1

x

的實(shí)軸所在直線(xiàn)為y=x，再求y=x與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到線(xiàn)段PQ的最小值．
（2）類(lèi)似（1）的原理，利用導(dǎo)數(shù)工具求出雙曲線(xiàn)y=

3

x-

1

x

的實(shí)軸所在直線(xiàn)為y=（

3

-2）x，再聯(lián)解直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程，得到交點(diǎn)坐標(biāo)后再用兩點(diǎn)間的距離公式，可算出線(xiàn)段PQ的最小值．

解答：解：（1）∵y=

1

x

的圖象為雙曲線(xiàn)，兩條漸近線(xiàn)分別為x軸和y軸
∴雙曲線(xiàn)的實(shí)軸在直線(xiàn)y=x上，直線(xiàn)y=x被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)等于PQ的最小值
聯(lián)解

y= 1 x y=x

，得交點(diǎn)為（1，1）和（-1，-1）
∴線(xiàn)段PQ的最小值為

(1+1)2+(1+1)2

=2

2

（2）函數(shù)y=

3

x-

1

x

的導(dǎo)數(shù)為y′=

3

+

1

x2

＞

3

，
所以函數(shù)的漸近線(xiàn)方程為：x=0與y=

3

x，
可得兩條漸近線(xiàn)的角平分線(xiàn)與x軸所成的傾斜角為-15°，
其方程為：y=tan（-15°）x，即y=（

3

-2）x，
因此，兩條漸近線(xiàn)的角平分線(xiàn)與函數(shù)y=

3

x-

1

x

的交點(diǎn)為：
（

2

2

，-

6 -2 2

2

），（-

2

2

，

6 -2 2

2

），
因此，線(xiàn)段PQ的最小值為

(- 2 2 - 2 2 )2+( 6 -2 2 2 + 6 -2 2 2 )2

=2

3

-2．
故答案為：2

2

，2

3

-2

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線(xiàn)的方程，求直線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得線(xiàn)段PQ的最小值．著重考查了雙曲線(xiàn)的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象等知識(shí)，屬于中檔題．