【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.
【答案】(1)f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)上單調(diào)遞減,在(-1-,-1+)上單調(diào)遞增;(2)[1,+∞).
【解析】試題分析:(1)求導(dǎo),令,求出極值點(diǎn),利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),即可求出的單調(diào)性;(2)先化簡(jiǎn),由,對(duì)分類討論:①當(dāng)時(shí),構(gòu)造新函數(shù),再對(duì)求導(dǎo),得的單調(diào)性,即可得的取值范圍;②當(dāng)時(shí),構(gòu)造新函數(shù),得的單調(diào)性,再由試根法即可得出結(jié)論;③當(dāng)時(shí),利用試根法即可得出結(jié)論;然后得出的取值范圍.
試題解析:(1)因?yàn)?/span>f(x)=(1-x2)ex,x∈R,
所以f′(x)=(1-2x-x2)ex,
令f′(x)=0可知x=-1±,
當(dāng)x<-1-或x>-1+時(shí)f′(x)<0,當(dāng)-1-<x<-1+時(shí)f′(x)>0,
所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)上單調(diào)遞減,在(-1-,-1+)上單調(diào)遞增;
(2)由題可知f(x)=(1-x)(1+x)ex.下面對(duì)a的范圍進(jìn)行討論:
①當(dāng)a≥1時(shí),設(shè)函數(shù)h(x)=(1-x)ex,則h′(x)=-xex<0(x>0),
因此h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,
又因?yàn)?/span>h(0)=1,所以h(x)≤1,
所以f(x)=(1-x)h(x)≤x+1≤ax+1;
②當(dāng)0<a<1時(shí),設(shè)函數(shù)g(x)=ex-x-1,則g′(x)=ex-1>0(x>0),
所以g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
又g(0)=1-0-1=0,
所以ex≥x+1.
因?yàn)楫?dāng)0<x<1時(shí)f(x)>(1-x)(1+x)2,
所以(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),
取x0=∈(0,1),則(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,
所以f(x0)>ax0+1,矛盾;
③當(dāng)a≤0時(shí),取x0=∈(0,1),則f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1,矛盾;
綜上所述,a的取值范圍是[1,+∞).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將邊長為的等邊沿軸正方向滾動(dòng),某時(shí)刻與坐標(biāo)原點(diǎn)重合(如圖),設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是,關(guān)于函數(shù)有下列說法:
(1)的值域?yàn)?/span>;
(2)是周期函數(shù)且周期為;
(3);
(4)滾動(dòng)后,當(dāng)頂點(diǎn)第一次落在軸上時(shí),的圖象與軸所圍成的面積為
其中正確命題的序號(hào)是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱中, , , 是的中點(diǎn),△是等腰三角形, 為的中點(diǎn), 為上一點(diǎn);
(1)若∥平面,求;
(2)平面將三棱柱分成兩個(gè)部分,求含有點(diǎn)的那部分體積;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長,且acosB+bcosA=2ccosC.
(1)求角C的值;
(2)若c=4,a+b=7,求S△ABC的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(文)已知點(diǎn)D(1, )在雙曲線C: =1(a>0,b>0)上,且雙曲線的一條漸近線的方程是 x+y=0.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若過點(diǎn)(0,1)且斜率為k的直線l與雙曲線C有兩個(gè)不同交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)設(shè)(2)中直線l與雙曲線C交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn),若以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)若,試討論關(guān)于的方程 的解的個(gè)數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn),其圖象如下圖,和圖象吻合的函數(shù)解析式是( )
A. B.
C. D.
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【題目】已知圓C1:x2+y2=4與圓C2:(x﹣1)2+(y﹣3)2=4,過動(dòng)點(diǎn)P(a,b)分別作圓C1、圓C2的切線PM,PN,(M,N分別為切點(diǎn)),若|PM|=|PN|,則a2+b2﹣6a﹣4b+13的最小值是( )
A.5
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(﹣ ,0),B( ,0),銳角α的終邊與單位圓O交于點(diǎn)P. (Ⅰ)用α的三角函數(shù)表示點(diǎn)P的坐標(biāo);
(Ⅱ)當(dāng) =﹣ 時(shí),求α的值;
(Ⅲ)在x軸上是否存在定點(diǎn)M,使得| |= | |恒成立?若存在,求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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