已知復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R），若存在實(shí)數(shù)t使a-bi=
2+4i
t
-3ati成立．
（1）求證：2a+b為定值；
（2）若|z-2|＜a，求|z|的取值范圍．
考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算
專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)
分析：（1）由條件利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，求得2a+b=6，從而證得結(jié)論．
（2）由|z-2|＜a，可得0＜a＜2，或a＞5；再根據(jù)|z|=
5a2-24a+36
，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得|z|的范圍．
解答： 解：（1）證明：∵復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R），若存在實(shí)數(shù)t使a-bi=
2+4i
t
-3ati成立，
則ta-tbi=2+（4-3at2）i，可得ta=2，-tb=4-3at2，∴-b•
2
a
=4-3a•
4
a2
，即-2b=4a-12，
化簡(jiǎn)可得2a+b=6，即2a+b為定值．
（2）若|z-2|＜a，則
(a-2)2+b2
＜a，∴a＞0，且
(a-2)2+(6-2a)2
＞a．
化簡(jiǎn)可得（a-2）（a-5）＞0，求得0＜a＜2，或a＞5．
而|z|=
a2+b2
=
a2+(6-2a)2
=
5a2-24a+36
，
當(dāng)0＜a＜2 時(shí)，|z|∈（2
2
，6）；當(dāng)a＞5 時(shí)，|z|＞
41
．
綜上可得，|z|的取值范圍為（2
2
，6）∪（
41
，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
log2(1-x)+1，-1≤x＜k
x2-3x+2，k≤x≤a
，若存在k使得函數(shù)f（x）的值域是[0，2]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=cos（3x+φ-
π
6
）（0＜φ＜π）是奇函數(shù)．
（1）求φ；
（2）求函數(shù)y=f（x+
π
12
）的單調(diào)減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=
sinx-1
cosx-2
的最大值及最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若∠α的終邊落在第三象限，則
cosα
1-sin2α
+
2sinα
1-cos2α
的值為（　　）
A、3B、-3C、1D、-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sinα-cosα=
1
3
，則tanα+
1
tanα
=（　�。�
A、
8
9
B、
7
3
C、
9
4
D、
11
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=-
1
2
x2-3x-
5
2
的值域是（　�。�
A、{y|y≥-
5
2
}
B、{y|y≤-
5
2
}
C、{y|y≥2}
D、{y|y≤2}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓C：
y2
a2
+
x2
2
=1（a＞
2
）的離心率
2
2
，其兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足
PF1
•
PF2
=1，過P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)直線PB的斜率為
2
2
時(shí)，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l1：（k-3）x+（4-k）y+1=0與直線l2：2（k-3）x-2y+3平行，則k為
 
．

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