Question

16．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₂作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)₁B與y軸交于點(diǎn)D，若$\overrightarrow{B{F}_{1}}$•$\overrightarrow{D{F}_{2}}$=0，則橢圓C的離心率等于$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 依據(jù)題意求出點(diǎn)F₁、F₂、D坐標(biāo)，由$\overrightarrow{B{F}_{1}}$•$\overrightarrow{D{F}_{2}}$=0得到a、b、c的關(guān)系式即可，

解答 解：過(guò)F₂作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，則可令B（c，$\frac{^{2}}{a}$）．
∵直線F₁B與y軸交于點(diǎn)D是線段F₁B的中點(diǎn)，∴D（0，$\frac{^{2}}{2a}$），
$\overrightarrow{B{F}_{1}}=（-2c，-\frac{^{2}}{a}）$，$\overrightarrow{D{F}_{2}}=（c，-\frac{^{2}}{2a}）$，
∵$\overrightarrow{B{F}_{1}}$•$\overrightarrow{D{F}_{2}}$=0，∴b²=2ac⇒c²+2ac-a²=0⇒e²+2e-1=0⇒e=$\sqrt{2}$-1
故答案為：$\sqrt{2}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的離心率，屬于基礎(chǔ)題．