設(shè)函數(shù)f(x)=(2-a)lnx+
1
x
+2ax.
(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)a≠0時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)a=2時(shí),對(duì)任意的正整數(shù)n,在區(qū)間[
1
2
,6+n+
1
n
]上總有m+4個(gè)數(shù)使得f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(am)<f(am+1)+f(am+2)+f(am+3)+f(am+4)成立,試問:正整數(shù)m是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,說明理由.
分析:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),當(dāng)a=0時(shí),f(x)=2lnx+
1
x
,可求得f′(x)=
2x-1
x2
,將f(x),f′(x)隨x變化情況列表即可求得f(x)的極值;
(2)由題意,g(x)=(2-a)lnx+2ax,在[1,+∞)上單調(diào)遞增?g′(x)=
2-a
x
+2a≥0在[1,+∞)上恒成立,設(shè)h(x)=2ax+2-a≥0在[1,+∞)上恒成立,對(duì)a分a=0,a>0,a<0討論即可求得答案;
(3)由題意得,f′(x)=
2ax2+(2-a)x-1
x2
,令f′(x)=0得x1=-
1
a
,x2=
1
2
,對(duì)a分a>0,a<0(對(duì)a再分a<-2,a=-2,-2<a<0)討論即可求得答案.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).
當(dāng)a=0時(shí),f(x)=2lnx+
1
x
,故f′(x)=
2
x
-
1
x2
=
2x-1
x2
,
由f′(x)=0得x=
1
2

f(x),f′(x)隨x變化如下表:
x (0,
1
2
1
2
1
2
,+∞)
f(x) - 0 +
f′(x) 極小值
故a=0時(shí),f(x)極小值=f(
1
2
)=2-2ln2,沒有極大值;
(2)由題意,f′(x)=
2ax2+(2-a)x-1
x2

令f′(x)=0,解得x1=- 
1
a
x2=
1
2

若a>0,由f′(x)≤0得x∈(0,
1
2
];由f′(x)≥0得x∈[
1
2
,+∞).
若a<0,①當(dāng)a<-2時(shí),-
1
a
1
2
,x∈(0,-
1
a
]或x∈[
1
2
,+∞),f′(x)≤0;x∈[-
1
a
1
2
],f′(x)≥0,
②當(dāng)a=-2時(shí),f′(x)≤0恒成立.
③當(dāng)-2<a<0時(shí),-
1
a
1
2
,x∈(0,
1
2
]或x∈[-
1
a
,+∞),f′(x)≤0;x∈[
1
2
,-
1
a
],f′(x)≥0.
綜上,當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,
1
2
],單調(diào)遞增區(qū)間為[
1
2
,+∞);
當(dāng)-2<a<0時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,
1
2
],[-
1
a
,+∞),單調(diào)遞增區(qū)間為[-
1
2
,-
1
a
];
當(dāng)a=-2時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞),無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間;
當(dāng)a<-2時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,-
1
a
],[
1
2
,+∞),單調(diào)遞增區(qū)間為[-
1
a
,
1
2
].
(3)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=
1
x
+4x,f′(x)=
4x2-1
x2

∵x∈[
1
2
,6+n+
1
n
],∴f′(x)≥0
∴f(x)min=f(
1
2
)=4,f(x)max=f(6+n+
1
n

由題意,mf(
1
2
)<4
f(6+n+
1
n
)
恒成立.
令k=6+n+
1
n
≥8,且f(k)在[6+n+
1
n
,+∞)上單調(diào)遞增,
fmin(k)=32
1
8
,因此m<32
1
8
,而m是正整數(shù),故m≤32,
所以,m=32時(shí),存在a1=a2=…=a32=
1
2
,am+1=am+2=am+3=am+4=8時(shí),對(duì)所有n滿足題意,∴mmax=32.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的極值與單調(diào)性,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,考查恒成立問題,正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.
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設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2.
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
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(3)在(2)條件下,(x-k)f′(x)+x+1>0恒成立,求k的取值范圍.

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(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在區(qū)間[a,b]⊆[
12
,+∞)
,使f(x)在[a,b]上的值域是[k(a+2),k(b+2)],求k的取值范圍.

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(2)若t=1,且對(duì)任意的x∈[a,a+2],都有f(x)≤5,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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設(shè)函數(shù)f(x)=2x+cosα-2-x+cosα,x∈R,且f(1)=
3
4

(1)求α的取值的集合;
(2)若當(dāng)0≤θ≤
π
2
時(shí),f(mcosθ)+f(1-m)>0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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