Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0）C(1，

3

)，△ABC的外接圓為圓，橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的右焦點(diǎn)為F．
（1）求圓M的方程；
（2）若點(diǎn)P為圓M上異于A、B的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)O作PF的垂線交直線x=2

2

于點(diǎn)Q，試判斷直線PQ與圓M的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）解法一：設(shè)圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，因?yàn)閳AM過A，B，C，所以

(-2)2-2D+F=0 22+2D+F=0 1+3+D+ 3 E+F=0

，由此能求出圓M方程．
解法二：由題意知A（-2，0），B（2，0），C(1，

3

)，所以K_AC=

3

3

，KBC=-

3

，則K_AC•K_BC=-1
所以AC⊥BC，所以△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，由此知以外接圓M以原點(diǎn)O為圓心，線段AB為直徑，從而得到其方程．
（2）直線PQ與圓M相切．證明這個(gè)結(jié)論：由橢圓E的方程

x2

4

+

y2

2

=1，可知F(

2

，0)，設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±2），則y₀²=4-x₀²．然后通過分類討論知當(dāng)x₀≠±2時(shí)，直線PQ始終與圓M相切．

解答：解：（1）法一設(shè)圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
因?yàn)閳AM過A，B，C，
所以

(-2)2-2D+F=0 22+2D+F=0 1+3+D+ 3 E+F=0

（4分）
解得D=E=0，F(xiàn)=-4，故圓M方程為x²+y²=4．（6分）
解法二：由題意知A(-2，0)，B(2，0)，C(1，

3

)，
所以K_AC=

3

3

，KBC=-

3

，則K_AC•K_BC=-1
所以AC⊥BC，所以△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，（4分）
所以外接圓M以原點(diǎn)O為圓心，線段AB為直徑，故其方程為x²+y²=4．（6分）
（2）直線PQ與圓M相切．
下證明這個(gè)結(jié)論：由橢圓E的方程

x2

4

+

y2

2

=1，可知F(

2

，0)，（8分）
設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±2），則y₀²=4-x₀²．
當(dāng)x₀=

2

2時(shí)，P(

2

，±

2

)，Q(2

2

，0)，KOP=1，KPQ=-1，
所以O(shè)P⊥PQ所以直線PQ與圓M相切．（10分）
當(dāng)x₀≠

2

6時(shí)，k_FP=

y0

x0- 2

，kOQ=-

x0- 2

y0

7，
所以直線OQ的方程為y=-

x0- 2

y0

x，因此，
點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2

2

，-

2 2 x0-4

y0

)，
所以k_PQ=-

x0

y0

，（12分）
所以當(dāng)x₀=0時(shí)，k_PQ=0，OP⊥PQ，直線PQ始終與圓M相切；
當(dāng)x₀≠0時(shí)，k_PQ•k_OP=-1，OP⊥PQ，直線PQ始終與圓M相切．
綜上，當(dāng)x₀≠±2時(shí)，總有OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓M相切．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用和分類討論思想的合理運(yùn)用．