Question

17、集合S={1，2，3，…，20}的4元子集T={a₁，a₂，a₃，a₄}中，任意兩個元素的差的絕對值都不為1，這樣的4元子集T的個數為

2380

． （用數字作為答案）

Answer 1

分析：不妨設 a₁＜a₂＜a₃＜a₄，有 a₂-a₁≥2，a₃-a₂≥2，a₄-a₃≥2，a₁，a₂-1，a₃-2，a₄-3相當于從1，2，3，4，…17中任意選出的4個，故所有的取法種數是 C₁₇⁴，運算求得結果．

解答：解：不妨設 a₁＜a₂＜a₃＜a₄，由于任意兩個元素的差的絕對值都不為1，故
a₂-a₁≥2，a₃-a₂≥2，a₄-a₃≥2，將a₂，a₃，a₄分別減去1，2，3，后，
這時，a₁，a₂-1，a₃-2，a₄-3是兩兩不等且至少相差1的4個正整數，
故 a₁，a₂-1，a₃-2，a₄-3相當于從1，2，3，4，…17中任意選出的4個，
故所有的取法種數是 C₁₇⁴=2380，
故答案為2380．

點評：本題考查組合及組合數公式的應用，判斷a₁，a₂-1，a₃-2，a₄-3相當于從1，2，3，4，…17中任意選出的4個，是解題的關鍵．