Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|-1，其中a＞1．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≥4-|x-4|的解集；
（Ⅱ）已知關(guān)于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤1的解集為{x|

1

2

≤x≤1}，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）≥4-|x-4|可化為|x-2|+|x-4|≥5，運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間，求出不等式|x-2|+|x-4|≥5的解集即可；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（2x+a）-2f（x），運(yùn)用分段函數(shù)表示h（x），由|h（x）|≤1解得

a-1

2

≤x≤

a

2

，它與

1

2

≤x≤1等價(jià)，然后求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）≥4-|x-4|可化為|x-2|+|x-4|≥5，
當(dāng)x≤2時(shí)，得-2x+6≥5，解得x≤

1

2

；
當(dāng)2＜x＜4時(shí)，得2≥5，無(wú)解；
當(dāng)x≥4時(shí)，得2x-6≥5，解得x≥

11

2

；
故不等式的解集為{x|x≥

11

2

或x≤

1

2

}．
（II）令h（x）=f（2x+a）-2f（x）=|2x|-|2x-2a|+1，
則h(x)=

-2a+1，(x≤0) 4x-2a+1，(0＜x＜a) 2a+1，(x≥a)

由|h（x）|≤1，可得

a-1

2

≤x≤

a

2

，
又解集為{x|

1

2

≤x≤1}，
則有

a-1 2 = 1 2 a 2 =1

，
解得a=2．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查絕對(duì)值不等式的解法，注意分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，�？碱}型．