由一個小區(qū)歷年市場行情調(diào)查得知,某一種蔬菜在一年12個月內(nèi)每月銷售量P(t)(單位:噸)與上市時間t(單位:月)的關(guān)系大致如圖(1)所示的折線ABCDE表示,銷售價格Q(t)(單位:元/千克)與上市時間t(單位:月)的大致關(guān)系如圖(2)所示的拋物線段GHR表示(H為頂點).
(Ⅰ)請分別寫出P(t),Q(t)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并求出在這一年內(nèi)3到6月份的銷售額最大的月份?
(Ⅱ)圖(1)中由四條線段所在直線 圍成的平面區(qū)域為M,動點P(x,y)在M內(nèi)(包括邊界),求z=x-5y的最大值;
(Ⅲ) 由(Ⅱ),將動點P(x,y)所滿足的條件及所求的最大值由加法運算類比到乘法運算(如1≤2x-3y≤3類比為1≤
x2y3
≤3
),試列出P(x,y)所滿足的條件,并求出相應(yīng)的最大值.
分析:(I)根據(jù)函數(shù)圖象寫出函數(shù)P(t),Q(t)的解析式,則銷售額為P(t)•Q(t),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求出最值;
(II)將目標函數(shù)z=x-5y用(x+y)與(x-y)線性表示,然后根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進行求解即可;
(III)類比到乘法有已知
5≤xy≤11
1≤
x
y
≤7
,求z=
x
y5
的最大值,然后根據(jù)
x
y5
=(xy)A•(
x
y
B求出A和B的值,最后根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進行求解即可.
解答:解:(Ⅰ)P(t)=
-t+5
 &0≤t≤3
t-1
 &3<t≤6,
-t+11
 &6<t≤9,
t-7
 &9<t≤12
Q(t)=-
1
16
(t-4)2+6
 &(0≤t≤12
P(t)•Q(t)=(t-1)[-
1
16
(t-4)2+6]
(3<t≤6)
(P(t)•Q(t))=-
3
16
[(t-3)2-33]
>0在t∈(3,6]恒成立,所以函數(shù)在(3,6]上遞增
當(dāng)t=6時,[P(t)•Q(t)]max=28.75.
∴6月份銷售額最大為34500元.
(Ⅱ)      
5≤x+y≤11
1≤x-y≤7
,z=x-5y.
令x-5y=A(x+y)+B(x-y),則
A+B=1
A-B=-5
A=-2
B=3
,
∴z=x-5y=-2(x+y)+3(x-y).由-22≤-2(x+y)≤-10,3≤3(x-y)≤21,
∴-19≤z≤11,則(z)max=11.
(Ⅲ)類比到乘法有已知
5≤xy≤11
1≤
x
y
≤7
,求z=
x
y5
的最大值.由
x
y5
=(xy)A•(
x
y
B
A+B=1
A-B=-5
A=-2
B=3

1
121
≤(xy)-2
1
25
,1≤(xy)3≤343
1
121
≤z≤
343
25
,則(z)max=
343
25
點評:本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,以及研究目標函數(shù)的最值問題,同時考查了類比推理,屬于中檔題.
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300-t(當(dāng)0≤t≤200)
2t-300(當(dāng)200<t≤300)
,西紅柿的種植成本Q與上市時間t滿足關(guān)系Q=
1
200
(t-150)2
+100(0≤t≤300)(市場售價與種植成本的單位是:元/100kg,時間單位是:天).若認定市場售價減去種植成本為純收益,問:何時上市的西紅柿純收益最大?

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(Ⅲ) 由(Ⅱ),將動點P(x,y)所滿足的條件及所求的最大值由加法運算類比到乘法運算(如1≤2x-3y≤3類比為),試列出P(x,y)所滿足的條件,并求出相應(yīng)的最大值.

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