Question

如圖，在三棱錐中，,,為的中點，,=.

（1）求證：平面⊥平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）欲證面面垂直，應先證線線垂直、線面垂直.注意到在中的邊長關系，應用勾股定理逆定理可得為直角三角形，．

又，且是的中點，可得，從而證得平面，即證得

平面平面．

（2）以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用“向量法”求解.

確定平面的一個法向量為，

根據，得到直線與平面所成角的正弦值為．

試題解析：（1）證明：在中，，

，

，

則為直角三角形，

所以，．

又由已知，

且是的中點，可得

又，

平面

又面

平面平面．（6分）

（2）以點為坐標原點，建立如圖

所示直角坐標系，

則，

．

設平面的法向量為，則有

即

解得：，

所以，平面的一個法向量為，

，

故直線與平面所成角的正弦值為．（12分）

考點：垂直關系，線面角的計算，空間向量的應用.