【題目】已知f(x)=ax3﹣x2﹣x+b(a,b∈R,a≠0),g(x)= (e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),f(x)的圖象在x=﹣ 處的切線方程為y= .
(1)求a,b的值;
(2)探究直線y= .是否可以與函數(shù)g(x)的圖象相切?若可以,寫出切點(diǎn)的坐標(biāo),否則,說(shuō)明理由;
(3)證明:當(dāng)x∈(﹣∞,2]時(shí),f(x)≤g(x).
【答案】
(1)解:f′(x)=3ax2﹣2x﹣1,
∵f(x)的圖象在x=﹣ 處的切線方程是y= x+ ,
故f′(﹣ )= ,即3a ﹣2(﹣ )﹣1= ,解得:a=1;
故f(x)的圖象過(guò)A(﹣ , ),
故 ﹣ ﹣(﹣ )+b= ,解得:b= ,
綜上,a=1,b=
(2)解:設(shè)直線y= x+ 與函數(shù)g(x)的圖象相切于A(x0,y0),
∵g′(x)= ex,∴過(guò)A點(diǎn)的直線的斜率是g′(x0)= ,
又直線y= x+ 的斜率是 ,故 = ,解得:x0=﹣ ,
將x0=﹣ 代入y= ex得點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣ , ),
故切線方程為:y﹣ = (x+ ),化簡(jiǎn)得y= x+ ,
故直線y= x+ 可以與函數(shù)g(x)的圖象相切,切點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣ , )
(3)證明:要證明:x∈(﹣∞,2]時(shí),f(x)≤g(x),
只需證明x∈(﹣∞,2]時(shí),f(x)≤ x+ ,
令k(x)= x+ ﹣f(x)=﹣x3+x2+ x+ ,
k′(x)=﹣3x2+2x+ ,令k′(x)=﹣3x2+2x+ =0,
解得:x=﹣ ,x= ,
故k(x)min=min{k(﹣ ),k(2)},
∵k(﹣ )=0,k(2)=0,故k(x)min=0,
故x∈(﹣∞,2],f(x)≤ x+ 成立,
x∈(﹣∞,2],令h(x)=g(x)﹣( x+ )= ex﹣ x﹣ ,
h′(x)= ex﹣ ,令h′(x)=0,x=﹣ ,
x∈(﹣∞,﹣ )時(shí),h′(x)<0,當(dāng)x∈(﹣ ,2]時(shí),h′(x)>0,
故h(x)≥h(﹣ )=0,即x∈(﹣∞,2]時(shí),g(x)≥ x+ ,
由不等式的性質(zhì)的傳遞性得:x∈(﹣∞,2]時(shí),f(x)≤g(x)
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)切線方程求出a的值,求出A的坐標(biāo),得到關(guān)于b的方程,解出即可;(2)設(shè)出切點(diǎn)A,根據(jù)切線方程求出A的坐標(biāo),從而求出切線方程,整理即可;(3)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x∈(﹣∞,2]時(shí),f(x)≤ x+ ,令k(x)= x+ ﹣f(x)=﹣x3+x2+ x+ ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭,它們?cè)谝惶於男r(shí)內(nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的.如果甲船停泊時(shí)間為1小時(shí),乙船停泊時(shí)間為2小時(shí),求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=exlnx(x>0),若對(duì) 使得方程f(x)=k有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0,ee]
B.[ee , +∞)
C.[e,+∞)
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,點(diǎn) ,圓F2:x2+y2﹣2 x﹣13=0,以動(dòng)點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1 , 且圓P與圓F2內(nèi)切.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)若直線l過(guò)點(diǎn)(1,0),且與曲線E交于A,B兩點(diǎn),則在x軸上是否存在一點(diǎn)D(t,0)(t≠0),使得x軸平分∠ADB?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解某社區(qū)居民購(gòu)買水果和牛奶的年支出費(fèi)用與購(gòu)買食品的年支出費(fèi)用的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表:
購(gòu)買食品的年支出費(fèi)用x(萬(wàn)元) | 2.09 | 2.15 | 2.50 | 2.84 | 2.92 |
購(gòu)買水果和牛奶的年支出費(fèi)用y(萬(wàn)元) | 1.25 | 1.30 | 1.50 | 1.70 | 1.75 |
根據(jù)上表可得回歸直線方程 ,其中 ,據(jù)此估計(jì),該社區(qū)一戶購(gòu)買食品的年支出費(fèi)用為3.00萬(wàn)元的家庭購(gòu)買水果和牛奶的年支出費(fèi)用約為( )
A.1.79萬(wàn)元
B.2.55萬(wàn)元
C.1.91萬(wàn)元
D.1.94萬(wàn)元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體 中, 是 的中點(diǎn), 在 上,且 ,點(diǎn) 是側(cè)面 (包括邊界)上一動(dòng)點(diǎn),且 平面 ,則 的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 ,函數(shù) .
(1)當(dāng) 時(shí),解不等式 ;
(2)若關(guān)于 的方程 的解集中恰好有一個(gè)元素,求 的取值范圍;
(3)設(shè) ,若對(duì)任意 ,函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值的差不超過(guò)1,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a∈[1,e2]時(shí),討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)令g(x)=tx2﹣4x+1,t∈[﹣2,2],當(dāng)a∈[1,e]時(shí),證明:對(duì)任意的 ,存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2).
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