【答案】
分析:(1)根據(jù)題意,對(duì)n=4,n=5時(shí)數(shù)列中各項(xiàng)的情況逐一討論,利用反證法結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行論證,進(jìn)而推廣到n≥4的所有情況.
(2)利用反證法結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行論證即可.
解答:解:(1)①當(dāng)n=4時(shí),a
1,a
2,a
3,a
4中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng),否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列,則推出d=0.
若刪去a
2,則a
32=a
1•a
4,即(a
1+2d)
2=a
1•(a
1+3d)化簡(jiǎn)得a
1+4d=0,得
若刪去a
3,則a
22=a
1•a
4,即(a
1+d)
2=a
1•(a
1+3d)化簡(jiǎn)得a
1-d=0,得
綜上,得
或
.
②當(dāng)n=5時(shí),a
1,a
2,a
3,a
4,a
5中同樣不可能刪去a
1,a
2,a
4,a
5,否則出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng).
若刪去a
3,則a
1•a
5=a
2•a
4,即a
1(a
1+4d)=(a
1+d)•(a
1+3d)化簡(jiǎn)得3d
2=0,因?yàn)閐≠0,所以a
3不能刪去;
當(dāng)n≥6時(shí),不存在這樣的等差數(shù)列.事實(shí)上,在數(shù)列a
1,a
2,a
3,…,a
n-2,a
n-1,a
n中,由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng),
若刪去a
2,則必有a
1•a
n=a
3•a
n-2,這與d≠0矛盾;
同樣若刪去a
n-1也有a
1•a
n=a
3•a
n-2,這與d≠0矛盾;
若刪去a
3,,a
n-2中任意一個(gè),則必有a
1•a
n=a
2•a
n-1,這與d≠0矛盾.(或者說:當(dāng)n≥6時(shí),無論刪去哪一項(xiàng),剩余的項(xiàng)中必有連續(xù)的三項(xiàng))
綜上所述,n=4.
(2)假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n,存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列b
1,b
2,b
n,其中b
x+1,b
y+1,b
z+1(0≤x<y<z≤n-1)為任意三項(xiàng)成等比數(shù)列,則b
2y+1=b
x+1•b
z+1,即(b
1+yd)
2=(b
1+xd)•(b
1+zd),化簡(jiǎn)得(y
2-xz)d
2=(x+z-2y)b
1d(*)
由b
1d≠0知,y
2-xz與x+z-2y同時(shí)為0或同時(shí)不為0
當(dāng)y
2-xz與x+z-2y同時(shí)為0時(shí),有x=y=z與題設(shè)矛盾.
故y
2-xz與x+z-2y同時(shí)不為0,所以由(*)得
因?yàn)?≤x<y<z≤n-1,且x、y、z為整數(shù),所以上式右邊為有理數(shù),從而
為有理數(shù).
于是,對(duì)于任意的正整數(shù)n(n≥4),只要
為無理數(shù),相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列.
例如n項(xiàng)數(shù)列1,
,
,,
滿足要求.
點(diǎn)評(píng):本題是一道探究性題目,考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及學(xué)生的運(yùn)算能力和推理論證能力.