Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點F₁到點M（2，1）的距離為

10

，且該橢圓的離心率為

1

2

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A為橢圓的右頂點，過橢圓右焦點F₂斜率為K（k≠0）的直線l與橢圓C相交于E、F兩點，直線AE、AF分別交直線x=4于點M、N，過點F₂作直線l′⊥l，求證：直線l′過線段MN的中點．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用兩點間的距離公式可得c，再利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出a，b；
（2）由題意得直線l、l′的方程，把直線l和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求得E，F(xiàn)兩點的橫坐標(biāo)的和與積，寫出AE和AF的方程，取x=4求得點M、N的坐標(biāo)，再由中點坐標(biāo)公式求出點P的坐標(biāo)，利用韋達定理化簡P的縱坐標(biāo)，把x=4代入l′的方程右邊，即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）因為左焦點F₁（-c，0）到點M（2，1）的距離為

10

，
所以

(-c-2)2+1

=

10

，解得c=1或c=-5（舍去），
由橢圓的離心率為

1

2

得，

c

a

=

1

2

，則a=2，即b²=a²-c²=3，
所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
證明：（2）設(shè)點E（x₁，y₁），點F（x₂，y₂），
由題意得過右焦點F₂（1，0）的直線l方程為：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

得，（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
又右焦點F₂（1，0）在橢圓內(nèi)，則直線l和橢圓都相交，△＞0恒成立，
且x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x₁x₂=

4k2-12

4k2+3

，
因為A（2，0），所以直線AE的方程為：y=

y1

x1-2

(x-2)，直線AF的方程為：y=

y2

x2-2

(x-2)，
令x=4代入AE、AF的方程得，點M（4，

2y1

x1-2

）、N（4，

2y2

x2-2

），
所以線段MN的中點P的坐標(biāo)是（4，

1

2

(

2y1

x1-2

+

2y2

x2-2

)），
又

1

2

(

2y1

x1-2

+

2y2

x2-2

)=

y1(x2-2)+y2(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

k(x1-1)(x2-2)+k(x2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

k[2x1x2-3(x1+x2)+4]

x1x2-2(x1+x2)+4

=

k[2× 4k2-12 4k2+3 -3× 8k2 4k2+3 +4]

4k2-12 4k2+3 -2× 8k2 4k2+3 +4

=

k[2×(4k2-12)-3×8k2+4(4k2+3)]

4k2-12-2×8k2+4(4k2+3)

=-

3

k

，
因為過點F₂與直線l垂直的直線l′方程是y=-

1

k

（x-1），
所以把x=4代入右邊得，-

3

k

，
則點P的坐標(biāo)是（4，

1

2

(

2y1

x1-2

+

2y2

x2-2

)）滿足直線l′方程是y=-

1

k

（x-1），
所以直線l′過線段MN的中點．

點評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、兩點間的距離公式，直線方程等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，要求考生具備較強的運算推理的能力，是高考試卷中的壓軸題．