Question

已知函數(shù)f（x）=x+

25

x

-（a²+b²）（a∈R，b∈R）．
（Ⅰ）現(xiàn)將一枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子（各面分別寫著1，2，3，4一個(gè)數(shù)字）拋擲兩次，所得向下的一面上的數(shù)字分別為a和b的值，求函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)的概率；
（Ⅱ）若a，b都是從區(qū)間[0，4]上隨機(jī)取的一個(gè)實(shí)數(shù)，求函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)存在零點(diǎn)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)的等價(jià)條件，利用古典概型的概率公式即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)幾何概型分別求出對(duì)應(yīng)事件的面積，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）現(xiàn)將一枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子（各面分別寫著1，2，3，4一個(gè)數(shù)字）拋擲兩次，所得向下的一面上的數(shù)字分別為a和b的值，
共有6×6=36個(gè)結(jié)果，
若函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，
即f（x）=x+

25

x

-（a²+b²）=0，有兩個(gè)根，
則x+

25

x

=a²+b²，即函數(shù)y=x+

25

x

，與y=a²+b²，有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x＞0時(shí)，y=x+

25

x

≥2

x• 25 x

=10，當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)取等號(hào)，
則a²+b²＞10，
當(dāng)a=1時(shí)，b²＞9，此時(shí)b=4，5，6，
當(dāng)a=2時(shí)，b²＞6，此時(shí)b=3，4，5，6，
當(dāng)a=3時(shí)，b²＞1，此時(shí)b=2，3，4，5，6，
當(dāng)a=4時(shí)，b²＞-6，此時(shí)b=1，2，3，4，5，6，
當(dāng)a=5時(shí)，此時(shí)b=1，2，3，4，5，6，
當(dāng)a=6時(shí)，此時(shí)b=1，2，3，4，5，6，共有30種，
則函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)的概率P=

30

36

=

5

6

；
（Ⅱ）若a，b都是從區(qū)間[0，4]上隨機(jī)取的一個(gè)實(shí)數(shù)，則

0≤a≤4 0≤b≤4

，對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檫呴L為4的正方形，面積S=4×4=16，
由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)存在零點(diǎn)，則等價(jià)為a²+b²≥10，對(duì)應(yīng)的區(qū)域在半徑為

10

的圓外部分，如圖陰影部分；
則陰影部分的面積S_陰影=16-

1

4

×π×(

10

)2=16-

5π

2

，
則函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)存在零點(diǎn)的概率P=

S陰影

S正方形

=

16- 5π 2

16

=1-

5π

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查古典概型和幾何概型的概率計(jì)算，以及函數(shù)零點(diǎn)存在的應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的概率公式．綜合性較強(qiáng)．