【題目】已知直線與拋物線交于兩點.

（1）求證：若直線過拋物線的焦點，則；

（2）寫出（1）的逆命題，判斷真假，并證明你的判斷.

【答案】（1）證明見解析；（2）逆命題：若，則直線過拋物線的焦點；真命題.見解析

【解析】

（1）不妨設拋物線方程為 ，則焦點坐標為，

當直線的斜率不存在時，直線方程為 代入，驗證.當直線的斜率存在時，設直線方程為 代入，得，再由韋達定理驗證.

（2）逆命題：直線過拋物線的焦點. 是真命題.證明：當直線的斜率不存在時，設直線方程為 代入，解得 ，再由，求解.當直線的斜率存在時，設直線方程為 代入，得 ，由韋達定理得再由，求得 與 的關系現(xiàn)求解.

（1）設拋物線方程為 ，則焦點坐標為，

兩個交點 ，

當直線的斜率不存在時，直線方程為，

代入，得 ，

所以.

當直線的斜率存在時，設直線方程為，

代入，

得 ，

由韋達定理得 .

所以若直線過拋物線的焦點時，則.

（2）逆命題：若，則直線過拋物線的焦點. 是真命題

證明：當直線的斜率不存在時，設直線方程為 代入得

因為，

所以，

解得 ，

所以直線過拋物線的焦點.

當直線的斜率存在時，設直線方程為，

代入，

得 ，

由韋達定理得 ，

又因為，

所以 ，

所以直線的方程，

所以直線過定點

即直線過拋物線的焦點.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】如圖，四棱錐中，底面是矩形，面底面，且是邊長為的等邊三角形， 在上，且面.

（1）求證: 是的中點；

（2）在上是否存在點，使二面角為直角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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【題目】如圖：在四棱錐中，平面.，，.點是與的交點，點在線段上且.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的正切值.

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【題目】在平面直角坐標系中，設橢圓.

(1)過橢圓的左焦點，作垂直于軸的直線交橢圓于、兩點，若，求實數(shù)的值；

(2)已知點，、是橢圓上的動點，，求的取值范圍；

(3)若直線與橢圓交于、兩點，求證：對任意大于3的實數(shù)，以線段為直徑的圓恒過定點，并求該定點的坐標.

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【題目】定義函數(shù)，(0，)為型函數(shù)，共中．

（1）若是型函數(shù)，求函數(shù)的值域；

（2）若是型函數(shù)，求函數(shù)極值點個數(shù)；

（3）若是型函數(shù)，在上有三點A、B、C橫坐標分別為、、，其中＜＜，試判斷直線AB的斜率與直線BC的斜率的大小并說明理由．

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（1）證明：面面；

（2）求與夾角的余弦值；

（3）求面與面所成二面角余弦值的大小.

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，且，平面 平面，，點為線段的中點，點是線段上的一個動點．

（Ⅰ）求證：平面 平面；

（Ⅱ）設二面角的平面角為，試判斷在線段上是否存在這樣的點，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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【題目】某學校為了解學生的體質(zhì)健康狀況，對高一、高二兩個年級的學生進行了體質(zhì)測試．現(xiàn)從兩個年級學生中各隨機選取20人，將他們的測試數(shù)據(jù)，用莖葉圖表示如圖：《國家學生體質(zhì)健康標準》的等級標準如表．規(guī)定：測試數(shù)據(jù)≥60，體質(zhì)健康為合格．

等級

優(yōu)秀

良好

及格

不及格

測試數(shù)據(jù)

（Ⅰ）從該校高二年級學生中隨機選取一名學生，試估計這名學生體質(zhì)健康合格的概率；

（Ⅱ）從兩個年級等級為優(yōu)秀的樣本中各隨機選取一名學生，求選取的兩名學生的測試數(shù)據(jù)平均數(shù)大于95的概率；

（Ⅲ）設該校高一學生測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為，高二學生測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為，試估計、的大小．（只需寫出結論）

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【題目】某商場為提高服務質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：

滿意

不滿意

男顧客

40

10

女顧客

30

20

（1）分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；

（2）能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？

附：．

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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