Question

【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)）．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（m，0），若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|PA||PB|=1，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由ρ=2cosθ，得：ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1，

∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x﹣1）2+y2=1．

由 （t為參數(shù)），得x= ，即x﹣ ，

∴直線l的普通方程為x﹣ ．

（2）解：將 代入（x﹣1）2+y2=1，得：（ ）2+（ ）2=1，

整理得： ，由△＞0，即3（m﹣1）2﹣4（m2﹣2m）＞0，

解得：﹣1＜m＜3．設(shè)t1，t2是上述方程的兩實(shí)根，則 ，t1t2=m2﹣2m，

又直線l過點(diǎn)P（m，0），由上式及t的幾何意義得|PA||PB|=|t1t2|=|m2﹣2m|=1，

解得：m=1或m=1 ，都符合﹣1＜m＜3，

因此實(shí)數(shù)m的值為1或1+ 或1﹣ ．

【解析】（1）由ρ=2cosθ，得：ρ2=2ρcosθ，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，直線l的參數(shù)方程中消去參數(shù)得到其普通方程．（2）首先把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把直線的參數(shù)方程中的參數(shù)t消去化為普通方程，把直線的參數(shù)方程代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到關(guān)于t的一元二次方程，由于直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，方程有兩個(gè)實(shí)根，所以要求判別式為正，解得m的范圍，利用根與系數(shù)關(guān)系表示t1t2，利用直線的參數(shù)方程參數(shù)t的幾何意義可知|PA||PB|=|t1t2|=|m2﹣2m|=1，解出m后要求符合m的范圍即可；